КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Пример 5. а. E-все студенты группы 2206.
а. E-все студенты группы 2206.
A-множество спортсменов из числа E.
-множество студентов - не спортсменов гр. 2206.
б. Из примера 1 
2 - множество натуральных чисел >12
Операции объединения, перечисления и дополнения называют булевыми операциями над множествами. Все операции над множествами можно интерпретировать в виде диаграмм Венна.
Объединение 
Пересечение 
Вычитание A\B 
Дополнение 
Задачи
1. Задайте перечислением а) множество М2; б) множество М7.
2. Найти мощность множества D1 простых делителей числа 30.
3. Найти мощность множества D2 простых делителей числа 64.
4. Найти строгие подмножества множества D1 из примера 1.
5. Найти строгие подмножества множества D2 из примера 2.
6. Привести примеры множества множеств.
Теория типов. Объекты имеют тип 0, множества - тип 1, множества множеств – тип 2 и т.д.
7. Пусть по определению А={{1,2,3},{1,3,},1,2}.
Верно ли, что {1,2} Î А? {1,2} Í А?
8. Пусть M6 – множество студентов группы 2206
M7 – множество групп факультета 2.
M8 – множество студентов факультета 2.
Как относятся множества: M6 и M7? M6 и M8? (Ответ: M6 ÎM7, M6 Ì M8)
Верно ли, что M7 = M8?
9. Как соотносятся объекты а и {а}?
Привести примеры одноэлементных множеств.
10. Привести (придумать) примеры таких множеств А,B,C,D, чтобы выполнялись условия:
11. а) A Ì B, B Ì C, C Ì D;
б) A Î B, B Î C;
в) A Ì B, B Î C, C Ì D;
г) A Î B, A Ì B.
12. Пусть Д – множество девушек группы 2206, Ю – множество юношей группы 2206, О – множество отличников группы 2206.
13. Найти
а) Д È Ю;
б) Д Ç О;
в) Ю Ç О;
г) М6 \ Ю;
д) М6 \ Д.
14. Найти объединение элементов множества М7. Найти все парные пересечения элементов множества М7. Найти пересечение всех элементов множества М7.
§1.4. Векторы и прямые произведения
Вектор - это упорядоченный набор элементов. Это понятие, как и понятие множества, будем считать неопределимым, базовым. Синоним слова ²вектор² - ²кортеж².
Элементы, образующие вектор, называются координатами или компонентами вектора. Координаты вектора нумеруются слева направо.
Число координат вектора называются его длиной или размерностью.
В отличие от элементов множества координаты вектора могут совпадать по значению.
Вектор при записи будем заключать в круглые скобки, например (0, 5, 4, 5). Иногда опускают скобки, и даже запятые.
Векторы длиной 2 часто называют упорядоченными парами (или просто парами, двойками), векторы длиной 3 - тройками и т.д. Вектор длины ²n² называют иногда ²n-кой² (энкой).
Опр.9 Проекцией вектора v на i-ю ось (обозначается прi v) называется его i-ая компонента.
Например, проекция точки плоскости на первую ось - это её абсцисса, на вторую - ордината.
Опр.10 Два вектора равны, если они имеют одинаковую длину и их соответствующие координаты равны.
Т.е. векторы (a1, a2, … an) и (b1, b2, … bm) равны, если n = m, a1 = b1;
a2 = b2, … an = bm.
Опр.11 Прямым произведением множеств A и B называется множество всех пар (a, b), таких, что aÎA, bÎB.
Обозначается прямое произведение A ´ B.
Символическая запись: A ´ B = {(a, b) | a Î A, b Î B }.
В частности, если B = A, то обе координаты (a, b) принадлежат A. Такое произведение обозначается A2. Аналогично прямым произведениям n множеств A1, A2, … An (обозначается A1 x A2 x … An) называется множество всех векторов (a1, … an) длины n таких, что a1ÎA1, … anÎAn.
A x A x … x A обозначается An.
Пример.
а). Множество R x R = R2 - это множество точек плоскости, т.е. пар вида (a, b), где a,b Î R и являются координатами точек плоскости.
Координатное представление точек плоскости, предложенное французским математиком и философом Рене Декартом — исторически первый пример прямого произведения. Именно поэтому иногда прямое произведение называют декартовым.
б). Пусть A = {a, b, c, d, f, g, h}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.
Тогда A x B = {a1, b2, … a8, b1, … b8, … h1 … h8}.
Мощность множества │A x B│ = 64. Это клетки шахматной доски.
§1.5. Соответствия и функции.
Опр.12 Соответствием между множествами A и B называется упорядоченная тройка G = (А, В, Г),
где A называется областью отправления,
B - областью прибытия соответствия,
Г – графиком соответствия (Г – это любое подмножество прямого произведения множеств A и B).
Если(a,b)ÎГ, то говорят, что b соответствует a при соответствии G.
Опр.13 Совокупность первых проекций элементов графика соответствия называется областью определения соответствия G и обозначается пр1G = { пр1 (a,b) | (a,b) Î Г}
Опр.14 Совокупность вторых проекций элементов графика соответствия называется областью значений соответствия и обозначается пр2G = { пр2 (a, b)| (a, b) Î G}
Если область определения соответствия пр1G совпадает с областью отправления А, то соответствие называется всюду или полностью определённым.
Если область значений соответствия пр2G совпадает с областью прибытия В, то соответствие называется сюръективным.
Опр.15 Множество всех элементов bÎB, соответствующих элементу aÎA называют образом элемента a в множестве B при соответствии G. Обозначается ОБG а
Опр.16 Множество всех элементов aÎA, которым соответствует элемент bÎB, называется прообразом b в множестве A при соответствии G. Обозначается ПОG b
Если для любого элемента из пр1G образом является одноэлементное множество элементов из пр2G, то соответствие G = (A, B, Г) является функциональным.
Если прообразом любого элемента из пр2G является одноэлементное множество элементов из пр1G, то соответствие G = (A, B, Г) является инъективным.
Если соответствие всюду определено, сюръективно, функционально и инъективно, то оно называется взаимно - однозначным соответствием (или биективным соответствием, биекцией).
Опр.17 Функцией называется функциональное соответствие. Если функция f устанавливает соответствие между множествами A и B, то говорят, что функция f имеет тип A®B и обозначается f: A ® B.
Опр.18 Всюду определённая функция f: A®B называется отображением A в B.
Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 90; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав |