![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
В практике синтеза автоматических СУ технологическими процессами сельскохозяйственного производства используют два метода экспериментального определения (идентификации) статических и динамических характеристик объектов автоматизации — активный и пассивный. В первом случае испытательное воздействие стандартной формы задают искусственно, во втором — объект исследуют путем сопоставления выходных и входных величин в условиях нормальной эксплуатации объекта. Выбор метода идентификации объекта определяется поставленной задачей, условиями опытов, эксплуатационными возмущениями и допустимыми по технологическим требованиям отклонениями исследуемых величин. Логика выбора метода будет рассмотрена далее. Определение статических характеристик (активный метод).Уравнения статики описывают поведение объекта в установившемся состоянии, т. е. показывают взаимосвязи между входными x(t) и выходными у(t) координатами, когда все производные функций х(t) и у(t) равны нулю.
Рис. 3.2. Активный эксперимент по определению статических характеристик: а — схема связей между входными и выходными параметрами; б — график эксперимента; в — к методу четвертых разностей
В общем виде статическая характеристика объекта с твходами (рис. 3.2, а) имеет вид Рассмотрим процедуру определения статических характеристик объекта поэтапно. 1. Подготовка и планирование эксперимента. Изучают ТП, оборудование и устанавливают взаимные связи между выходными и входными параметрами. 2. Проведение эксперимента. Каждая входная величина изменяется ступенчато в пределах рабочего диапазона Так, для определения статических характеристик зимней теплицы с водяным обогревом устанавливают соотношения между расходом воды через регулирующий клапан и температурой воздуха в средней точке теплицы. При этом температуру измеряют после стабилизации температурного режима сооружения. Общее число опытов
где xmax, xmin — верхняя и нижняя границы диапазона изменения входной величины; Практически рекомендуемое число опытов d= 6... 10. Опыт повторяют по каждому из каналов исследования. 3. Обработка результатов эксперимента. Полученные зависимости Идея метода четвертых разностей (рис. 3.2, в) состоит в последовательном вычислении поправки для каждой экспериментальной точки 1 последовательно. Эту поправку вычисляют по формуле: в которую входят ордината i-й точки и ординаты четырех соседних с ней точек Истинное значение Полученная статическая характеристика, как правило, нелинейна и потому желательна ее линеаризация одним из рассмотренных ранее методов с целью аппроксимации простейшей зависимостью вида При двух входных воздействиях х1 и х2 вид аппроксимирующего выражения усложняется: Определение статических характеристик (пассивный метод).Стохастические (случайные) изменения выходных величин нормально Функционирующего объекта автоматизации обусловлены как случайными изменениями входных величин, так и процессами, происходящими в самом объекте, причем последующие значения случайно изменяющихся физических величин точно предсказать невозможно. В рассмотренном ранее примере с теплицей такого рода случайно изменяющимися воздействиями являются изменения наружной температуры, солнечной радиации или давления воды в питающей тепловой сети. С математической точки зрения такие воздействия и процессы, ими вызываемые, рассматривают как случайные функции (СФ) времени. Значение их статических характеристик позволяет определить динамические характеристики объекта автоматизации и успешно решить задачу синтеза САР. При этом обычно достаточно использования теории СФ, характеристиками случайного процесса (СП) которой служат математическое ожидание (МО) и корреляционная функция (КФ). Математическое ожидание СП х(t) в момент времени где i — номер реализации. Математическое ожидание СП — детерминированная величина. Случайный процесс x(t), МО которого равно нулю, называют центрированным, Дисперсия характеризует интенсивность отклонения СП от МО. Ее определяют как среднее значение квадрата колебаний центрированного СП: Дисперсия СП в момент ti —детерминированная величина. Она всегда положительна. Вместо дисперсии часто используют среднее квадратическое отклонение СФ Рис. 3.3. График случайного процесса (а) и автокорреляционной функции (б) Автокорреляционная функция характеризует связь между значениями СП в разные моменты времени Случайные процессы могут быть стационарные и нестационарные. К группе нестационарных относятся СП, МО и КФ, которые зависят от времени, т. е. от точки отсчета. Автокорреляционная функция Rxx(т) стационарного СП зависит только от интервала сдвига (т) и не зависит от момента отсчета (рис. 3.3, б). Многие СП обладают свойством эргодичности, которое состоит в том, что характеристики процессов, вычисленные по множеству реализаций при фиксированном времени и усреднением по времени одной реализации длиной Т, совпадают. Для СП, обладающих свойством эргодичности,
Если интервал реализации Т разделить на N дискретных интервалов времени
Спектральная плотность характеризует частотные свойства СП (среднее значение квадрата амплитуды гармоник)
Первое из выражений для вычисления спектральной плотности связано с предварительной аппроксимацией КФ каким-либо аналитическим выражением с последующим использованием табличных интегралов. При использовании ЭВМ предпочтительно вычисление Кроме расчетных методов для получения спектральных плотностей может быть использован специальный частотный анализатор. Спектральная плотность — четная функция частоты, причем медленно меняющиеся (низкочастотные) процессы имеют более узкий график спектральной плотности, чем быстро меняющиеся (высокочастотные) процессы. Определение динамических характеристик.Динамические характеристики объекта автоматизации могут быть представлены в виде амплитудной фазочастотной характеристики (АФЧХ), определяемой по формуле:
где Если входной сигнал объекта — «белый шум», то расчетная формула упрощается, ибо его спектральная плотность По этим формулам строят АФЧХ объекта при изменении Подводя итоги, можно предложить следующие рекомендации по выбору метода построения модели объекта. 1. Аналитический метод дает модель, применимую для всего класса однотипных объектов, позволяющую оценить влияние конструктивно-технологических параметров объекта на его статические и динамические характеристики. Недостаток метода — невысокая точность, поскольку его использование требует существенных упрощений задачи. 2. Экспериментальный метод дает модель, отличающуюся большой точностью и значительно меньшими трудозатратами. Недостатки метода — невозможность применить модель для другого объекта и оценить влияние отдельных конструктивно-технологических параметров на характеристики объекта. Пассивный эксперимент применим при высоком уровне возмущающих воздействий и в случае невозможности организовать требуемое детерминированное воздействие. В остальных случаях активный эксперимент предпочтительнее. Перспективен экспериментально-аналитический метод. В этом случае уравнения статики и динамики составляются аналитическими методами, а коэффициенты этих уравнений находят экспериментально на реально существующих объектах. Критерий адекватности модели и объекта — близость результата численного решения дифференциального уравнения и экспериментальной переходной характеристики.
|