Решение задач на вычисление пределов

Решение примеров на вычисление пределов требует знания и применения большинства определений, теорем и лемм о пределах. Начнем с задачи нахождения предела некоторой последовательности, используя только определение предела.

Согласно определению предела последовательности, для того, чтобы доказать, что число A является пределом последовательности , надо для любого указать формулу для вычисления такого , что при всех выполняется неравенство . Фактически надо решить это неравенство относительно переменной n.

Пример 1. Возьмем последовательность и докажем, что она стремится к нулю. Для этого решим уравнение , или . Решением будет . Взяв в качестве первое целое число после числа , получим, что искомое неравенство выполняется при всех , что и требовалось доказать.

Следующая по сложности группа задач основана на использовании лемм о пределе суммы, разности, произведения и отношения двух последовательностей. В частности, из леммы о пределе произведения следует, что бесконечно малыми являются последовательности , и вообще для целого k.

Пример 2. Рассмотрим последовательность . Вынесем за скобки в числителе дроби выражение 3n², а в знаменателе – выражение 2n². Тогда последовательное применение лемм о пределах дает

Если внимательно приглядеться к этому примеру, то можно выделить основную идею решения, которую можно назвать Методом Главного Слагаемого. Рассмотрим

Пример 3. Пусть надо вычислить , причем по счастливой случайности . То же самое можно записать в виде , , , , где последовательности , , , - бесконечно малые. Вынесем за скобки в числителе , а в знаменателе . Тогда по аналогии с примером 2

.

Другими словами, предел получился равным пределу отношения главных слагаемых (конечно, если такой предел существует).

Выше ситуация, когда , записывалась . Главным называется слагаемое, по сравнению с которым все остальные представляют собой о-малое. Важно, чтобы главное слагаемое в сумме было одно. Если в сумме есть два слагаемых одного порядка (то есть предел их отношения конечен и не равен нулю), то в знаменателе дроби вместо суммы «1+0+0=0» (как в примере) может, например, получиться «1+0-1=0», а делить на нуль нельзя, и тогда лемма о пределе отношения неприменима.

Метод главных слагаемых применим не только для разрешения неопределенности вида , но и для разрешения неопределенности вида , означающей, что числитель и знаменатель дроби – бесконечно малые последовательности. Этот метод без изменения переносится на случай предела произвольного вида.

Перейдем теперь к случаю предела функции. Сначала рассмотрим предел при . Можно выделить несколько классов бесконечно больших функций, которые часто встречаются в приложениях. Сравним функции разных классов с точки зрения предела их отношения при и расположим эти классы в порядке главенства (в том смысле, что отношение любой функции низшего класса к любой функции высшего класса стремится к нулю).

(1). Ограниченные функции, такие как sin(x) или arctg(x).

(2). Логарифмическая функция в положительной степени , где ,

(3). Степенная функция , где .

(4). Показательная функция , где .

(5). Факториал : произведение всех целых чисел от единицы до x (определен только для целого аргумента x, то есть только для последовательностей).

Замечание. Из двух степенных функций та главнее, у которой показатель больше. Аналогично, из двух показательных функций та главнее, у которой основание больше. В то же время два логарифма с разными основаниями одного порядка: , то есть константа!

Докажем, например, что (для простоты будем считать, что x - целое число). Для этого прежде всего докажем, что при достаточно больших x (при для некоторого отношение - убывающая последовательность. Действительно, имеем . При стремлении x к бесконечности и , откуда мы получим для достаточно большого x (для этого нужно, чтобы было ).

Последовательность положительная и убывает, значит, она имеет предел . Пусть этот предел строго положителен. Тогда , то есть получили в противоречие с условием задачи. Значит, .

Простая замена переменных позволяет свести случай к случаю . Тогда мы получим такую же шкалу бесконечно больших положительных функций при .

(1). Ограниченные функции, такие как cos(x).

(2). Логарифмическая функция в положительной степени , где ,

(3). Степенная функция , где .

(4). Показательная функция , где .

Так же, как и при , отношение любой функции низшего класса к любой функции высшего класса стремится к нулю, а отношение любой функции высшего класса к любой функции низшего класса стремится к бесконечности. В частности, при любых показателях n и k

Пример 4.

Пример 5. .

Пример 6. . Можно показать, что , если . Действительно, x - это длина дуги единичной окружности от точки 0 до точки x, а - перпендикуляр, опущенный из точки x на горизонтальную ось. Если , то из теоремы о двух милиционерах следует, что и , то есть величина - бесконечно малая при .

Пример 7. (то есть функция непрерывная). Действительно, , поскольку произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию дает бесконечно малую

Аналогично доказывается непрерывность функции , в частности, .

Пример 8 (1-й замечательный предел). . Доказательство вытекает из неравенств при (геометрическое доказательство опускаем), откуда при делении на получаем . Так как уже известно, что , из леммы о двух милиционерах следует, что . Осталось заметить, что - функция нечетная, поэтому

Пример 9 (2-й замечательный предел). Последовательность имеет предел, который (наряду с числом π) получил индивидуальное имя «число е». Число е – иррациональное и примерно равно 2,718281828. Доказательство основано на том, что последовательность возрастает и ограничена сверху числом 3, откуда следует существование предела. Доказательство возрастания и ограниченности достаточно сложное.

Мощное средство вычисления пределов дает лемма о возможности замены функций в произведении и отношении на эквивалентные. Обычно при функции заменяются на степенные функции вида . Из 1-го и 2-го замечательного пределов вытекают несколько эквивалентностей при , которые позволяют решить значительный класс задач.

Вместо в эти формулы можно подставлять любые выражения, стремящиеся к нулю.

Пример 10. Найти . Используя стандартные эквивалентности, получим , , , , , откуда

.

Некоторые примеры основываются на лемме о непрерывности сложной функции. Понятие непрерывности будет рассматриваться в дальнейших разделах. Однако сама лемма достаточно просто формулируется.

Лемма. Пусть функция непрерывна в точке , , функция непрерывна в точке , . Тогда функция непрерывна в точке , то есть

Доказательство Леммы использует эквивалентность определения предела по Коши и по Гейне. Пусть , тогда вследствие непрерывности функции последовательность , а вследствие непрерывности функции последовательность , что и означает непрерывность сложной функции.

Пример 11. Вычислить . Поскольку , применение леммы о сложной функции дает

.

Пример 12. Более сложная задача – найти . Если учесть, что показательная функция непрерывна везде, и используя тождество , получим .

Самые сложные примеры получаются, если требуется избавиться от неопределенности вида или , причем в числителе или знаменателе вычитаются величины одинакового порядка, например, при . Для решения такого примера необходимо уметь раскладывать функцию в ряд Маклорена.

Разложением в степенной ряд Маклорена называется представление функции в форме бесконечного ряда из степеней переменной x: Смысл бесконечной суммы заключается в том, что для каждого x надо вычислить сумму S_n первых n членов этого ряда, а затем перейти к пределу при . Можно доказать, что для многих функций (в том числе для степенной функции, логарифмической функции и тригонометрических функций) такие пределы существуют. Кроме того, если оборвать ряд на каком-то члене, то погрешность при (см. выше определение и свойства о-малого). Такое представление погрешности называется погрешностью в форме Пеано. Приведем самые известные разложения в ряд Маклорена.

Пример 13. Посчитать предел . Трудность здесь в том, что в числителе стоит разность двух величин, стремящихся к единице, а в знаменателе – величина порядка , поэтому нельзя применять лемму о пределе отношения. Правда, при желании можно применить правило Лопиталя, но тогда нужно дифференцировать четыре раза! Правильный подход заключается в том, чтобы использовать разложение обоих членов в числителе в ряд Маклорена, взяв достаточное число членов ряда. Итак, положим , , . Получим

.

Мы воспользовались тем, что заменяется на , а заменяется на (это вытекает из свойств о-малого). Ответ получен.