Простейшая схема теплового контура.

Рассмотрим работу теплового контура для случая, когда теплоноситель не меняет своего фазового состояния (не испаряется).
Холодный теплоноситель поступает в устройство, являющиеся источником тепловой энергии для контура (реактор АЭС, котел ТЭС), в нем он нагревается, забирая тепловую энергию. Горячий теплоноситель подается в потребитель тепловой энергии, на выходе из которого, мы вновь имеем холодный теплоноситель.
Расход теплоносителя g [кг/сек], теплоемкость теплоносителя С (Дж/(кг град)), температура на входе в источник T₁[град] на выходе из источника T₂ [град] и мощность источника Q [Вт] связанны соотношением:

В некоторых случаях температура теплоносителя на входе в источник и выходе из источника может быть одинакова. Например, в случае если в источнике тепловой энергии происходит кипение теплоносителя, как известно температура кипящей воды остается постоянной. Теплота отводится за счет изменения фазового состояния теплоносителя.
Определение: Удельной теплотой парообразования вещества называется количество теплоты необходимое для того, чтобы перевести один килограмм данного вещества из жидкого состояния в газообразное.
Размерность [Дж/кг]
Если R - удельная теплота парообразования теплоносителя то мощность источника Q [Вт] расход теплоносителя g [кг/сек] и паросодержание p на выходе из источника тепловой энергии связанны соотношением:

Передача тепловой энергии осуществляется тремя видами теплообмена:

· теплопроводностью;

· конвекцией;

· излучением.

Теплопроводность можно представить как обусловленный градиентом температур обмен внутренней энергией, который происходит при идеальном контакте двух тел или разных частей одного тела.

С физической точки зрения, теплопроводность осуществляется благодаря беспорядочному движению атомов или молекул. Энергия передается от частиц вещества с большим количеством энергии (высокотемпературная область) к частицам с меньшим количеством энергии (низкотемпературная область). Однако конечно-элементный подход к теплопередаче предполагает макроскопический характер описания процесса.

Процесс теплопередачи в сплошной среде можно описать уравнением для скорости переноса тепла, которое еще называют законом Фурье. Дифференциальная форма этого закона, выражающая плотность тепловогопотока в положительном направлении оси х, имеет вид

q = – k dT/dx (1)

Для теплового потока через поверхность А

Q_А = – k A dT/dx (2)

Знак “минус” в уравнении указывает на то, что тепло передается в направлении меньшей температуры. Закон Фурье для трех направлений декартовой системы координат записывается следующим образом:

q’’_x = – k_x dT/dx, (3)

q’’ _y= – k_y dT/dx, (4)

q’’ _z= – k_z dT/dx. (5)

Под конвекцией понимается передача тепла, которая происходит между поверхностью объекта и окружающей его средой, когда они имеют различные температуры.

Рассматриваются два вида конвекции: свободная и вынужденная.

Свободная (или естественная) конвекция происходит при движении среды вследствие разности плотностей нагретых и холодных слоев среды в поле тяжести. Примером является теплопередача от горячего тротуара к атмосферному воздуху в спокойный, безветренный день.

Вынужденная конвекция обусловлена движением среды, которое вызвано некоторыми внешними причинами, такими как действие вентилятора, насоса или атмосферных ветров.

Согласно закону Ньютона, теплопередача конвекцией описывается следующей формулой:

q’ = q / A = h(T_S – T_B), (6)

где Ts - температура поверхности;

Tв - средняя температура окружающей среды.

Конвективная теплопередача фактически является граничной, или поверхностной нагрузкой.

Излучением называется процесс распространения теплоты в форме электромагнитных волн, испускаемых объектами. Более горячий объект испускает в единицу времени большее количество лучевой энергии.

Распространение тепла теплопроводностью или конвекцией требует присутствия передающей среды, в то время как излучение может осуществляться без нее. В действительности, теплопередача излучением наиболее эффективно происходит в вакууме.

Если в системе присутствуют два тела или более, что является обычным случаем в технике, излучение энергии происходит в двух направлениях. Каждое тело излучает теплоту, но каждое также поглощает некоторое количество теплоты, испускаемое другим телом. В таком случае представляет интерес количество тепла, которое передается излучением.

Причиной обмена лучистой энергией является различие в температурах тел. Уравнение, описывающее теплопередачу излучением между двумя телами (или поверхностями), основано на законе Стефана-Больцмана и имеет вид:

q = e s A₁ F₁₂ (T₁⁴ - T₂⁴ ), (7)

где

Теплообмен излучением, является нелинейным, так как в уравнение теплопередачи температура входит в четвертой степени. Теплопередача излучением, подобно конвекции, рассматривается как граничное условие. Способы моделирования излучения состоят в следующем:

· задание элементов излучения (от узла к узлу);

· задание двумерных и трехмерных элементов с поверхностным эффектом(от поверхности к узлу);

· использование дополнительной программы, которая генерирует тепловую матрицу излучения (суперэлемент), отображающую эффекты излучения между двумя или более поверхностями.

Если поток теплоты остается неизменным во времени, то проводится анализ стационарного (установившегося) состояния. Соответственно температуры и нагрузки будут также постоянными во времени. Центральным понятием при рассмотрении теплопроводности является первыйзакон термодинамики или закон сохранения энергии. Для элементарного объема материала, находящегося в стационарном состоянии, первый закон может быть записан как уравнение баланса энергии:

подводимая энергия - отводимая энергия = 0 (8)

Тепловой баланс для стационарного (установившегося) состояния в алгебраической форме может быть записан следующим образом:

Qподводимая + Qгенерируемая – Qотводимая = 0. (9)

Целью конечно-элементного подхода к рассмотрению проблемы теплопроводности является получение системы уравнений, которые позволяют рассчитать температурные поля и соответствующие тепловые потоки. Дифференциальная форма закона сохранения энергии для элементарного объема, т.е.

Ñ • q’’= q’’’, (10)

с учетом закона теплопроводности Фурье это уравнение принимает следующий вид:

– Ñ (kÑT) = q’’’ (11)

В линейных системах, в которых k=const, получим уравнение для прямоугольных координат (x,y,z)

(12)

При получении системы разрешающих уравнений задачи используются следующие стандартные приемы.

1. Предполагается, что дифференциальное уравнение, составленное для элементарного объема, выполняется для каждого конечного элемента.

2. Применяются стандартные вариационные методы, в которых дифференциальное уравнение умножается на допустимую функцию температуры и интегрируется по объему элемента.

3. В пределах каждого элемента температуры аппроксимируются зависимостью

T(x,y,z) = S N_i(x,y,z) ^.T_i, (13)

где величины T_i являются узловыми температурами, а функции N_i представляют собой соответствующие функции формы для рассматриваемых элементов.

4. Такая процедура приводит к системе уравнений для конечных элементов, которые образуют глобальную систему уравнений для анализа стационарного теплового состояния, а именно

[K]{T}={Q}, (14)

где

[ K ] = матрица теплопроводности;

{ T } = вектор узловых температур;

{ Q } = вектор узловых тепловых потоков.

Система описывает стационарное состояние, причем решается линейнаязадача. Как будет показано, разрешающие уравнения для описания переходных процессов и полностью нелинейных систем могут быть получены подобным образом.

При рассмотрении этого уравнения оказывается, что матрица [K] описывает не только условия теплопроводности, но также и конвекцию, и граничные условия радиационного излучения:

[K] = [Kкондукции] + [Kконвекции] + [Kизлучения](15)

При этом вектор теплового потока в узлах [Q] может включать не только заданный тепловой поток, но также составляющие конвекции и излучения:

{Q} = {Qзаданный} + {Qконвекции} + {Qизлучения}(16)

Нестационарной тепловой анализ рассматривает меняющийся во времени отклик системы, сопровождающийся процессами нагревания или охлаждения. В противоположность стационарному анализу можно видеть, что в этом случае происходит следующее:

· температуры изменяются со временем,

· тепловой поток изменяется со временем,

· тепловые нагрузки могут изменяться со временем,

· изменения внутренней энергии очевидны.

Для некоторой сосредоточенной массы или элементарного объема количество подводимой энергии минус количество отводимой энергии равно изменению внутренней энергии, или в алгебраической форме:

Qподводимая + Qгенерируемая – Qотводимая = Qнакопленная . (17)

Для элементарного объема это соотношение в дифференциальной форме имеет вид:

(18)

Используя закон Фурье, уравнение можно записать в таком развернутом виде:

(19)