Решение. Множества и операции над ними

Множества и операции над ними

План

1. Понятие множества, элемент множества.
2. Конечные, бесконечные, пустое, универсальное множества.
3. Равные множества, подмножества.
4. Характеристическое свойство множества.
5. Способы задания множества.
6. Операции над множествами: объединение, пересечение, разность. Дополнение множества.

Георг Кантор

1845-1918

Понятие множества является одним из основных в математике и не имеет точного определения.

Множества обозначаются заглавными латинскими буквами, а их элементы – строчными. Запись a R означает, что элемент а принадлежит множеству R , то есть а является элементом множества R . В противном случае, когда а не принадлежит множеству R , пишут a R .

Множество, элементы которого можно пересчитать, называется конечным, в противном случае – бесконечным. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым, обозначается Ø.

Универсальное множество универсум, - некоторое множество, фиксированное в рамках данной математич. теории и содержащее в качестве элементов все объекты, рассматриваемые в этой теории. Напр., для элементарной арифметики У. м. является множество всех целых чисел. Особую роль играет понятие У. м. в теории множеств. Объектами исследования в ней являются множества, поэтому У. м. здесь является совокупность всех множеств; однако оно уже не является множеством, т. е. не может быть объектом рассмотрения в теории множеств. На это указывают парадоксы, связанные с понятием множества всех множеств (напр., антиномия Кантора).

Множество можно задать, перечислив все его элементы.

Например, если мы скажем, что множество А состоит из чисел 3, 4, 5 и 6, то мы зададим это множество, поскольку все его элементы окажутся перечисленными. При этом возможна запись, в которой перечисляемые элементы заключаются в фигурные скобки: А= {3, 4, 5, 6}.

Однако если множество бесконечно, то его элементы перечислить нельзя. Трудно задать таким способом и конечное множество с большим число элементов. В таких случаях применяют другой способ задания множества: указывают характеристическое свойство его элементов.

Характеристическое свойство – это такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит.

Рассмотрим, например, множество А двухзначных чисел: свойство которым обладает каждый элемент данного множества, – «быть двузначным числом». Это характеристическое свойство дает возможность решать вопрос о том, принадлежит какой-либо объект множеству А или не принадлежит. Так число 45 содержится в множестве А, т. к. оно двузначное, а число 145 множеству А не принадлежит, т. к. оно не является двузначным.

Случается, что одно и то же множество можно задать, указав различные характеристические свойства его элементов. Например, множество квадратов можно задать как множество прямоугольников с равными соседними сторонами и как множество ромбов с прямым углом.

В тех случаях, когда характеристическое свойство элементов можно представить в символьной форме, возможна соответствующая запись множества.

Итак, для того чтобы задать некоторое множество, достаточно либо перечислить все его элементы, либо указать их характеристическое свойство.

Второй способ более общий: он позволяет задавать и конечные и бесконечные множества.

Два множества А и В называются равными (А = В), если они состоят из одних и тех же элементов, то есть каждый элемент множества А является элементом множества В и наоборот, каждый элемент множества В является элементом множества А.

Говорят, что множество А содержится в множестве В (рис.1) или множество А является подмножеством множества В (в этом случае пишут А В ), если каждый элемент множества А одновременно является элементом множества В. Эта зависимость между множествами называется включением. Для любого множества А имеют место включения: А и А А .

Сумма (объединение) множеств А и В (пишется А В ) есть множество элементов, каждый из которых принадлежит либо А, либо В. Таким образом, е А В тогда и только тогда, когда либо е А, либо е В.

Произведение (пересечение) множеств А и В (пишется А В, рис.2) есть множествоэлементов, каждый из которых принадлежит и А, и В. Таким образом, е А В тогда и только тогда, когда е А и е В.

Разность множеств А и В (пишется А\В, рис.3 ) есть множествоэлементов, которые принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В. Это множество называется также дополнением множества В относительно множества А.

Свойства операций над множествами: