Понятие множества, подмножества, пустого множества. Диаграммы Эйлера-Венна

"Под множеством мы понимаем объединение в одно целое определенных, вполне различимых объектов нашей интуиции или нашей мысли" — так описал понятие "множество" Георг Кантор, основатель теории множеств.

Основные предпосылки канторовской теории множеств сводятся к следующему:

1° Множество может состоять из любых различимых объектов.

2° Множество однозначно определяется набором составляющих его объектов.

3° Любое свойство определяет множество объектов, которые этим свойством обладают.

Если х — объект, Р — свойство, Р(х) — обозначение того, что х обладает свойством Р, то через {х|Р(х)} обозначают весь класс объектов, обладающих свойством Р. Объекты, составляющие класс или множество, называют элементами класса или множества.

Термин "множество" употребляется как синоним понятий совокупность, собрание, коллекция некоторых элементов. Так, можно говорить о:

а) множестве пчёл в улье,

б) множестве точек отрезка,

в) множестве вершин квадрата или о множествах его сторон и диагоналей,

г) множестве студентов в аудитории и т.д.

В приведённых примерах в случаях а), в)-г) соответствующие множества состоят из определённого конечного числа предметов, такие множества называются конечными. Множество точек отрезка (пример б)) пересчитать невозможно, поэтому такие множества называются бесконечными. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством.

Наиболее простая форма задания множества - перечисление его элементов, например А={4, 7, 13} (множество А состоит из трёх элементов - целых чисел 4, 7, 13). Другая часто применяемая форма задания - указание свойств элементов множества, например A = {x| x² ≤ 4} - множество чисел х, удовлетворяющих указанному условию.

Множества обычно обозначаются большими буквами А, В, С,…., а их элементы - малыми: а, в, с,… Запись а ∈ А (читается: а принадлежит А) или A ∋ a (читается: А содержит а) означает, что а есть элемент множества А. Пустое множество обозначается значком Ø.

Если каждый элемент множества В является также элементом множества А, множество В называется подмножеством множества А (обозначение - B ⊆ A или A ⊇ B).

Каждое множество является своим подмножеством (это самое "широкое" подмножество множества). Пустое множество является подмножеством любого множества (это самое "узкое" подмножество). Любое другое подмножество множества А содержит хотя бы один элемент множества А, но не все его элементы. Такие подмножества называются истинными, или собственными подмножествами. Для истинных подмножеств множества А применяется обозначение B ⊂ A или A ⊃ B. Если одновременно B ⊆ A и A ⊆ B, т.е каждый элемент множества В принадлежит А, и в то же время каждый элемент А принадлежит В, то А и В, очевидно, состоят из одних и тех же элементов и, следовательно, совпадают. В этом случае применяется знак равенства множеств: A = B. (Символы ∈, ∋, ⊂, ⊃, ⊆, ⊇ называются символами включения).

Геометрически множества обычно изображаются как некоторые множества точек плоскости. Сами картинки называются диаграммами Эйлера-Венна (кругами Эйлера). То есть диаграммы Эйлера-Венна – геометрические представления множеств или геометрические изображения отношений между объёмами понятий посредством пересекающихся контуров(кругов или эллипсов), предложенная английским логиком Джоном Венном (1834 - 1923) в конце позапрошлого века. В своих работах по наглядному графическому изображению логических фигур он опирался на ряд графических систем, предложенных Эйлером (1707 - 1783), И.Ламбертом (1728 - 1777), Жергонном (1771 -1859), Б. Больцано (1781 -1848).

Приведём некоторые из диаграмм. Построение диаграммы заключается в изображении большого прямоугольника, представляющего универсальное множество U, а внутри его – кругов (или каких-нибудь других замкнутых фигур), представляющих множества. Фигуры должны пересекаться в наиболее общем случае, требуемом в задаче, и должны быть соответствующим образом обозначены. Точки, лежащие внутри различных областей диаграммы, могут рассматриваться как элементы соответствующих множеств. Имея построенную диаграмму, можно заштриховать определенные области для обозначения вновь образованных множеств.

Операции над множествами рассматриваются для получения новых множеств из уже существующих.

Определение. Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А, В (рис. 1):

Определение. Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат одновременно как множеству А, так и множеству В (рис. 2):

Определение. Разностью множеств А и В называется множество всех тех и только тех элементов А, которые не содержатся в В (рис. 3):

Определение. Симметрической разностью множеств А и В называется множество элементов этих множеств, которые принадлежат либо только множеству А, либо только множеству В (рис. 4):

Распространено и другое обозначение симметрической разности: А ∆ В, вместо А + В.

Определение. Абсолютным дополнением множества А называется множество всех тех элементов, которые не принадлежат множеству А (рис. 5):

Справедливы равенства: (AUB)= A∩B; (A∩B)= AUB.

В заключение приведем еще одну формулу для подсчета числа элементов в объединении трех множеств (для общего случая их взаимного расположения, показанного на рисунке):

m(AUBUC)=m(A)+m(B)+m(C)-m(A∩B)-m(B∩C)-m(A∩C)+m(A∩B∩C)

Пример 1. Записать множество всех науральных делителей числа 15 и найи число его элементов.

A={1,3,5},

m(A)=3.

Пример 2. Заданы множества A={2,3,5,8,13,15}, B={1,3,4,8,16}, C={12,13,15,16}, D= {0,1,20}.

Найти AUB, CUD, B∩C, A∩D, A\C, C\A, B\D, AUBUC, A∩B∩C, BUD∩C, A∩C\D.

AUB= {1,2,3,4,5,8,13,15,16}

CUD= {0,1,12,13,15,16,20}

B∩C= {16}

A∩D= Ø

A\C= {2,3,5,8}

C\A= {12,16}

B\D= {3,4,8,16}

AUBUC= {1,2,3,4,5,8,12,13,15,16}

A∩B∩C= Ø

BU(D∩C)= {1,3,4,8,16}

(A∩C)\D= {13,15}

Пример 3. В школе 1400 учеников. Из них 1250 умеют кататься на лыжах, 952 – на коньках. Ни на лыжах, ни на коньках не умеют кататься 60 учащихся. Сколько учеников умеют кататься и на коньках и на лыжах?

Множество всех учеников будем считать основным множеством U, тогда A и B – соответственно множества учащихся, умеющих кататься на лыжах и на коньках.

A∩B – множество учащихся, не умеющих кататься ни на лыжах, ни на коньках.

По условию m(A∩B)=60, также используем равенство (AUB)= A∩B, тогда m((AUB))=60.

Значит, m(AUB)=m(U)-m((AUB))=1400-60=1340.

По условию m(A)=1250, m(B)=952, получаем m(A∩B)=m(A)+m(B)-m(AUB)=1250+952-1340=862

Пример 4. Группа из 25 студентов сдала экзаменационную сессию со следующими результатами: 2 человека получили только «отлично»; 3 человека получили отличные, хорошие и удовлетворительные оценки; 4 человека только «хорошо»; 3 человека получили хорошие и удовлетворительные оценки. Число студентов, сдавших сессию только на «отлично», «хорошо», равно числу студентов, сдавших сессию только на «удовлетворительно». Студентов, получивших только отличные и удовлетворительные оценки, - нет. Удовлетворительные или хорошие оценки получили 22 студента. Сколько студентов не явились на экзамены? Сколько студентов сдали сессию только на «удовлетворительно»?

Введем обозначения.

А – множество студентов, получивших «отлично»;

В – множество студентов, получивших «хорошо»;

С – множество студентов, получивших «удовлетворительно».

Из условия известно, что

- число студентов, получивших только «5»,

- число студентов, получивших только «4»,

- число студентов, получивших только «5» и «3»,

- число студентов, получивших только «4» и «3»,

- число студентов, получивших «5», «4» и «3».

Также по условию известно, что множества и равны. Обозначим эту величину за x. Тогда из условия , получим

Число же студентов, не явившихся на экзамен, найдем следующим образом:

Ответ: 6 студентов получили только «удовлетворительно», 1 студент не явился на экзамены.