Принцип математической индукции. Для доказательства различных высказываний P(n), зависящих от n Î N, применяется принцип математической индукции.

Для доказательства различных высказываний P(n), зависящих от n Î N, применяется принцип математической индукции.

Индукция – это переход от частного к общему.

Определение. Множество А ÌR называется индуктивным, если: 1) 1 Î А, 2) х Î А Þ (х + 1) Î А.

Вставка 1.

Исходя из понятия индуктивного множества, можно дать следующее определение натурального числа: число n Î R называется натуральным, если оно является элементом любого индуктивного множества.

Отсюда сразу следует, что 1 Î N, а также если n Î N, то (n + 1) Î N. Действительно, возьмем произвольное индуктивное множество А. Если n Î N, то n Î А. Тогда (n + 1) Î А. А т.к. множество А- произвольно, то (n + 1) Î N.

Таким образом, N – индуктивное множество, причем наименьшее из всех индуктивных множеств (в смысле принадлежности всем индуктивным множествам).

Теорема (Принцип математической индукции). Пусть дано высказывание P(n), n Î N. Предположим, что 1) высказывание Р(1) истинно, 2) если истинно P(n), то истинно также

P(n +1). Тогда высказывание P(n) является истинным " n Î N.

Доказательство. Пусть М Ì N – множество натуральных чисел, для которых высказывание P(n) является истинным. Тогда 1 Î М. в силу условия 2) из n Î М следует (n + 1) Î М. Это означает, что множество М индуктивно, т.е. М É N. А т.к. М Ì N, то М = N, т.е. множество тех n, для которых P(n) истинно, совпадает с N. Таким образом, P(n) истинно " n Î N.

При доказательстве методом математической индукции используется следующая терминология: высказывание Р(1) - истинно – основание индукции; P(n) - истинно – индукционное допущение; P(n +1) – истинно – индукционный переход.

Вставка 2.

Вопросы и упражнения.

1)В чем состоит принцип математической индукции?

2)Какие из перечисленных множеств являются индуктивными: а) Z, б) N, в) N È {0}, г) ?

3)Доказать равенство 1 + 2 + … + n = .

4)Доказать обобщение неравенства Бернулли , где - вещественные числа одного знака и большие – 1.

5)Доказать формулу бинома Ньютона , где - число сочетаний из n по k.

6)Доказать, что любое индуктивное множество неограниченно сверху.

7)Докажите неравенство |x₁ + x₂ + ...+ x_n| £ |x₁| + |x₂| + ...+ |x_n|.