Вставка 4.

Определение 5. Наибольшая из нижних граней множества Х называется точной нижней гранью этого множества и обозначается символом (infimum).

Утверждение 2. Û 1) "xÎ X x ³ m; 2) )"e > 0 $x_eÎ X: x_e < m + e.

Вставка 5.

Утверждение 3. Неограниченное сверху (снизу) множество не имеет точной верхней (нижней) грани.

Для доказательства этого утверждения достаточно сравнить определение 3 и утверждение 1 (2).

Теорема. Всякое непустое ограниченное сверху (ограниченное снизу) множество имеет точную верхнюю (нижнюю) грань.

Доказательство. Пусть множество X Ì R ограничено сверху. Обозначим через Y множество верхних граней множества X. Тогда "x Î X и "y ÎY верно неравенство x £ y, т.е. X £ Y. По аксиоме непрерывности $ MÎ R: "x Î X и "y ÎY x £ M £ y. Первое неравенство означает, что M Î Y, второе, что M = min y, т.е. M = sup X.

Вопросы и упражнения.

1)Существует ли наибольшая верхняя грань у ограниченного сверху множества?

2)Существует ли наименьший элемент у ограниченного снизу множества?

3)Укажите какие-либо верхнюю и нижнюю грани множества , если они существуют.

4)Докажите, что любое конечное множество вещественных чисел ограничено.

5)Будет ли ограниченным объединение и пересечение ограниченных множеств?

6)Будет ли неограниченным объединение и пересечение неограниченных множеств?

7)Имеет ли пустое множество верхнюю и нижнюю грани?

8)Найдите точные верхнюю и нижнюю грани множества Х = . Принадлежат ли они множеству Х?

9)Для каких числовых множеств inf X = supX?

10)Может ли быть верным неравенство supX < inf X?

11)Докажите единственность inf X и supX.

12)Пусть X и Y непустые множества вещественных чисел, причем Х ограничено сверху и YÌ X. Докажите, что Yограничено сверху и supY £ supX.

13)Пусть А– множество чисел, противоположных по знаку числам из множества В, и В– ограничено. Докажите, что: а) infA= - sup B, б) sup A = - inf B.

14)Пусть {x + y} есть множество всех сумм x + y, где x Î {x}, y Î {y}. Докажите равенства: inf{x + y} = inf{x} + inf{y}, sup{x + y} = sup{x} + sup{y}.

15)Пусть Аи В – ограниченные множества. Найти sup{A È B}, inf{AÈB}, sup{AÇB}, inf {AÇB}.