Расширенная система вещественных чисел. Некоторые числовые множества.

Приведем еще одну геометрическую иллюстрацию вещественных чисел. Рассмотрим числовую прямую и окружность, касающуюся ее в точке О – начале отсчета.

- ¥ +¥

x^’

x 0

Пусть ОР - диаметр. Построим отрезок Р , где точка лежит на числовой прямой. Пусть - точка пересечения отрезка Р и окружности. Если исключить из рассмотрения точку Р, то между множеством точек и множеством точек х устанавливается взаимно однозначное соответствие, т.е. каждой точке одного множества отвечает единственная точка другого множества, причем так, что различным точкам отвечают также различные точки. Дополним вещественную ось, а значит, и множество вещественных чисел , двумя символами – и + , которые будут соответствовать точке Р на окружности при рассмотренном правиле взаимно однозначного соответствия.

Определение 1. Под расширенной системой вещественных чисел будем понимать множество = , для элементов которого выполняются следующие условия:

1) R: – < < + , , , ;

2) если > 0, то

3) если < 0, то

Если необходимо подчеркнуть различие между символами с одной стороны, и вещественными числами, с другой, то последние будем называть конечными. Если нас не интересует знак, то будем писать символ

Заметим, что, например, операции или не определены (см. гл. II).

Определение 2. Пусть А Ì . Если А не ограничено сверху, то будем полагать sup A = + ¥; если А неограниченно снизу, то inf A = - ¥.

В дальнейшем мы будем оперировать следующими числовыми множествами:

1) сегмент, или отрезок

2) интервал < <

3) окрестность точки

4) проколотая окрестность точки :

5) окрестность точки : где > 0, >0;

6) полусегменты, или полуинтервалы : = ( ] = [ ] \ { };

7) числовая прямая :

8) полупрямые : [

9) открытые полупрямые: > <

Все указанные множества, кроме 3) и 4), будем называть еще промежутками.

Вопросы и упражнения.

1)Найти sup N, inf Z, sup Q.

2)Определить + ¥ + (+¥), 2^+¥, 2^{- ¥}.

3)Записать О_e (а) и с помощью неравенств.

4)Отличаются ли множества и ?

5)Будут ли являться окрестностями точки а объединение и пересечение двух и более окрестностей этой точки?

6)Пусть свойство А будет верно в О¹(х₀), а свойство В – в О²(х₀). Укажите точки, для которых верны свойства А и В.