Аксиоматика вещественных чисел.

Понятие числа является первичным и основным в математике. Это понятие прошло длительный путь исторического развития. Множество натуральных чисел (N) появилось в связи со счетом предметов. Затем под влиянием потребностей практики и развития самой математики были введены целые (Z) и рациональные числа (Q = Z, n Î N). Затем возникла необходимость в иррациональных числах (J). Объединение рациональных и иррациональных чисел представляют множество вещественных или действительных чисел (R)

Множество Rудовлетворяет следующим аксиомам.

I. Аксиома упорядоченности. " x, y Î R выполнено x < y, или x = y, или x > y. При этом, если x < y, y < z, то x < z.

II. Аксиомы сложения. " x, y Î R определено единственное вещественное число, называемое их суммой и обозначаемое x + y, причем

II₁. Переместительный (коммутативный) закон сложения: " x, y Î R x + y = y + x ;

II_2. Cочетательный (ассоциативный) закон сложения: " x, y, z Î R x + (y + z) = (x + y) + z;

II_3. Существование нулевого элемента (нуля): "x Î R $ 0Î R: x + 0 = x;

II_4. Cуществование противоположного элемента: "x Î R $ (- х) Î R: x + (- х) = 0;

II₅. Если x < y, то " z Î R x + z < y + z.

III. Аксиомы умножения. " x, y Î R определено единственное вещественное число, называемое их произведением и обозначаемое x×y (или xy), причем

III₁. Переместительный (коммутативный) закон умножения: xy = yx " x, y Î R ;

III_2. Cочетательный (ассоциативный) закон умножения: " x, y,z Î R x(yz) = (xy)z ;

III₃. Существование единичного элемента: $ 1Î R: "x Î Rx×1 = x;

III₄. Cуществование обратного элемента: " x ¹ 0 $ x^-1 = Î R: xx^-1= 1;

III₅. Если x < y и z > 0, то xz < yz; если x < y и z < 0, то xz > yz.

IY. Распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно сложения: (x + y) z = xz + yz " x, y,z Î R.

Y. Аксиома непрерывности. Пусть А, В Ì R, причем " x Î А и "y Î В x £ y (В этом случае будем писать А £ В). Тогда " x Î А и "y Î В $ z Î R: x £ z £ y .

Отметим, что приведенная система аксиом может быть заменена другой, эквивалентной этой.

Вещественные числа необходимы в первую очередь для измерения различных величин. В связи с этим вещественным числам можно дать различную иллюстрацию, простейшая из которых связана с измерением длины отрезка. Если выбрать масштаб (отрезок, который принимается за единицу), то длину любого отрезка можно будет выразить некоторым вещественным числом (см. .§ 5 гл II). Можно показать, что справедливо и обратное, т.е. каждому вещественному положительному числу будет отвечать некоторый отрезок. При этом, если договориться вещественное число записывать десятичной дробью без девяток в периоде, то указанное соответствие будет взаимно однозначным. На этом принципе основано изображение вещественных чисел точками на числовой прямой: на прямой выбирается начало отсчета, масштаб и направление положительного отсчета (а значит, и отрицательного). Тогда множество R и множество точек на прямой эквивалентны. Поэтому вещественные числа называют еще точками.

Вопросы и упражнения.

1)Сформулируйте аксиомы вещественных чисел.

2)Доказать, что число, обладающее свойством нуля (единицы) единственное.

3)Доказать, что число, противоположное (обратное) данному, единственно.

4)Доказать, что"x Î R выполнено х×0 = 0.

5)Доказать, используя геометрическую иллюстрацию, равенство а,а₁а₂…а_n(9) = a,a₁a₂...(a_n + 1) (в частности, 0,(9) = 1).

6)Показать, что любое рациональное число записывается периодической десятичной дробью.

7)Проиллюстрируйте аксиому непрерывности на числовой оси.