Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Аксиоматика вещественных чисел.




Читайте также:
  1. II. Сравнение вещественных чисел.
  2. III. Непрерывность вещественных чисел.
  3. Аксиоматика действительных чисел
  4. Б-7. Методы и средства предварительного и экспертного исследования вещественных доказательств.
  5. Некоторые свойства вещественных чисел.
  6. Определение отношения делимости на множестве целых неотрицательных чисел. Свойства отношения делимости. Делимость суммы, разности, произведения целых неотрицательных чисел
  7. Подготовительные упражнения к ознакомлению с вычитанием трехзначных чисел.
  8. Расширенная система вещественных чисел. Некоторые числовые множества.
  9. Сравнение чисел.

 

Понятие числа является первичным и основным в математике. Это понятие прошло длительный путь исторического развития. Множество натуральных чисел (N) появилось в связи со счетом предметов. Затем под влиянием потребностей практики и развития самой математики были введены целые (Z) и рациональные числа (Q = Z, n Î N). Затем возникла необходимость в иррациональных числах (J). Объединение рациональных и иррациональных чисел представляют множество вещественных или действительных чисел (R)

Множество Rудовлетворяет следующим аксиомам.

I. Аксиома упорядоченности. " x, y Î R выполнено x < y, или x = y, или x > y. При этом, если x < y, y < z, то x < z.

II. Аксиомы сложения. " x, y Î R определено единственное вещественное число, называемое их суммой и обозначаемое x + y, причем

II1. Переместительный (коммутативный) закон сложения: " x, y Î R x + y = y + x ;

II2. Cочетательный (ассоциативный) закон сложения: " x, y, z Î R x + (y + z) = (x + y) + z;

II3. Существование нулевого элемента (нуля): "x Î R $ 0Î R: x + 0 = x;

II4. Cуществование противоположного элемента: "x Î R $ (- х) Î R: x + (- х) = 0;

II5. Если x < y, то " z Î R x + z < y + z.

 

III. Аксиомы умножения. " x, y Î R определено единственное вещественное число, называемое их произведением и обозначаемое x×y (или xy), причем

III1. Переместительный (коммутативный) закон умножения: xy = yx " x, y Î R ;

III2. Cочетательный (ассоциативный) закон умножения: " x, y,z Î R x(yz) = (xy)z ;

III3. Существование единичного элемента: $ 1Î R: "x Î Rx×1 = x;

III4. Cуществование обратного элемента: " x ¹ 0 $ x-1 = Î R: xx-1= 1;

III5. Если x < y и z > 0, то xz < yz; если x < y и z < 0, то xz > yz.

IY. Распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно сложения: (x + y) z = xz + yz " x, y,z Î R.

Y. Аксиома непрерывности. Пусть А, В Ì R, причем " x Î А и "y Î В x £ y (В этом случае будем писать А £ В). Тогда " x Î А и "y Î В $ z Î R: x £ z £ y .



 

Отметим, что приведенная система аксиом может быть заменена другой, эквивалентной этой.

Вещественные числа необходимы в первую очередь для измерения различных величин. В связи с этим вещественным числам можно дать различную иллюстрацию, простейшая из которых связана с измерением длины отрезка. Если выбрать масштаб (отрезок, который принимается за единицу), то длину любого отрезка можно будет выразить некоторым вещественным числом (см. .§ 5 гл II). Можно показать, что справедливо и обратное, т.е. каждому вещественному положительному числу будет отвечать некоторый отрезок. При этом, если договориться вещественное число записывать десятичной дробью без девяток в периоде, то указанное соответствие будет взаимно однозначным. На этом принципе основано изображение вещественных чисел точками на числовой прямой: на прямой выбирается начало отсчета, масштаб и направление положительного отсчета (а значит, и отрицательного). Тогда множество R и множество точек на прямой эквивалентны. Поэтому вещественные числа называют еще точками.

 

Вопросы и упражнения.



 

1)Сформулируйте аксиомы вещественных чисел.

2)Доказать, что число, обладающее свойством нуля (единицы) единственное.

3)Доказать, что число, противоположное (обратное) данному, единственно.

4)Доказать, что"x Î R выполнено х×0 = 0.

5)Доказать, используя геометрическую иллюстрацию, равенство а,а1а2аn(9) = a,a1a2...(an + 1) (в частности, 0,(9) = 1).

6)Показать, что любое рациональное число записывается периодической десятичной дробью.

7)Проиллюстрируйте аксиому непрерывности на числовой оси.

 


Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 10; Нарушение авторских прав







lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2022 год. (0.017 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты