Вставка 5.

Гл. I. Множества. Вещественные числа.

Множества и операции над ними.

Для удобства записей в дальнейшем будем использовать символы:

" А – «для любого (произвольного) А»;

$ В – «существует (найдется) В»;

А Þ В (импликация) – «В следует из А», «В – необходимое условие для А», «А – достаточное условие для В»;

А Û В – «В является необходимым и достаточным условием для А»; «А имеет место тогда и только тогда, когда выполнено В»;

А Ù В – «А и В справедливы одновременно»;

А Ú В – «справедливо хотя бы одно из предложений А или В».

Понятие множества относится к начальным понятиям современной математики. Оно не сводится к другим, уже известным и потому более простым понятиям, а значит, его нельзя определить, не используя синонимы, а можно только описать.

Под множеством будем понимать собрание, совокупность некоторых предметов, понятий, объединенных по какому-либо признаку (условию).

Вставка 1.

Предметы или понятия, составляющие некоторое множество, называются его элементами (иногда, точками).

Множества будем обозначать либо заглавными буквами А, В,…, либо прописными в фигурных скобках {x}, {a},... Множество элементов, обладающих характерным свойством Р, будем записывать так А = {x| P}.

Вставка 2.

В дальнейшем: N –множество натуральных чисел, Z –множество целых чисел,Q– множество рациональных чисел, J –множество иррациональных чисел,R –множество вещественных (действительных) чисел.

Если элемент х принадлежит множеству А, то будем писать х Î А; если же х не принадлежит А, то будем писать х Ï А.

Начальным понятием является также понятие пустого множества, т.е. множества, не содержащее элементов. Пустое множество будем обозначать символом Æ.

Множество А называется подмножеством множества В, если " х Î А Þ х Î В. В этом случае пишут А Ì В. Пустое множество считают подмножеством любого множества А.

Возможен случай А = В, т.е. элементы множеств А и Всовпадают.

Вставка 3.

Суммой или объединением А È В множеств А и Вназывается множество С, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В (С = А È В ={x| х Î А Ú х Î В}).

Вставка 4.

Из приведенного определения суммы вытекает, что А È В = В È А, А È(В È С) = А È(В È С).

Пересечением А Ç В двух множеств А и В называется множество D, составленное из элементов, принадлежащих как множеству А, так и множеству В (D = А Ç В = {x | x Î A Ù x Î B}).

Вставка 5.

Легко убедиться в справедливости следующих свойств: 1) А Ç В = В Ç А, 2) (А Ç В) Ç С = А Ç (В Ç С), 3) А Ì В, то А Ç В = А, в частности А Ç А = А, А Ç Æ = Æ.

Разностью Е = А \ В двух множеств А и В называется множество, состоящее из элементов множества А, не принадлежащих В. Если А Ì S, то множество K = S \ А называется дополнением множества А до множества S.