Некоторые свойства вещественных чисел.

Модуль вещественного числа и его свойства.

Модулем или абсолютной величиной вещественного числа называется вещественное число |a|, удовлетворяющее условиям

.

Легко проверяемы свойства:

1) |a| ³ 0; 2) |a| = |-a|; 3) a £ |a|, - a £ |a|.

Вставка 1.

Докажем свойства: "a, b Î R 4) |a + b| £ |a| + |b| и 5) .

4)Действительно, из свойства 3) a £ |a|, b £ |b|. Тогда по аксиоме II₅, примененной дважды, получим

a + b £ |a| + b £ |a| + |b|.

Аналогично убеждаемся, что

- (a + b) = (-a) + (-b)£ |a| + |b|.

Объединяя эти неравенства , получим 4).

5) Имеем

|a| - |b| = |(a – b) + b| - |b| £ |a – b| + |b| - |b| = |a – b|.

Меняя a и b местами, получим

|b| - |a| £ |b – a| = |a – b|.

Из полученных неравенств следует 5).

Отметим также следующие свойства модуля:

6) "a, b Î R |ab| = |a| |b|.

7) неравенство |a| < e эквивалентно двойному неравенству - e < a < e (системе неравенств ).

Вставка 2.

Вопросы и упражнения.

1)Докажите свойства модуля.

2) Докажите: |a – b| £ e Û b - e £ a £ b + e.

3)Решите неравенство в натуральных числах.

4)Для каких a и b имеет место знак равенства в свойстве 4)?

5)Для каких значений х справедливо неравенство |f(x) + g(x)| < |f(x)| + |g(x)|, если f(x) = x – 3, g(x) = 4 – x?

6)Дайте геометрическую иллюстрацию неравенства |a – b| £ e.