Вставка 1.

Определение 2. Непустое множество А называется конечным, если оно эквивалентно какому-либо множеству B_n ={1, 2, ..., n}. В противном случае множество А называется бесконечным.

Определение 3. Множество Аназывается счетным, если оно эквивалентно множеству натуральных чисел.

Другими словами, элементы счетного множества можно занумеровать.

Теорема 1. Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.

Доказательство. Пусть М– бесконечное множество. Возьмем произвольный элемент из множества М и обозначим его через а₁. Так как М бесконечно, то в М найдутся элементы, отличные от а₁. Возьмем любой из них и обозначим его через а₂ и т.д. Продолжая этот процесс, мы получим счетное множество А = {a₁,а_{2, ...,} a_n,...} Ì M.

Из доказанной теоремы вытекает, что счетное множество среди бесконечных множеств самое «маленькое».

Теорема 2. Объединение конечной или счетной совокупности счетных множеств есть множество счетное.

Доказательство. Пусть А₁, А₂,… - счетные множества и А = А_i, где число слагаемых либо конечно, либо счетно. Пусть A_i = {a_in} = {a_i1, a_i2,...}. Составим бесконечную таблицу

a₁₁ a₁₂ a₁₃ . . .

a₂₁ a₂₂ a₂₃ . . .

a₃₁ a₃₂ a₃₃ . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

Нумерацию элементов множества А проведем в порядке, показанном стрелками: b₁ = a₁₁,

b₂ = a₂₁, b₃ = a₁₂, b₄ = a₃₁,... . Если некоторые элементы повторяются, то их учитываем только один раз.

Указанным способом удается занумеровать все элементы множества А.

Теорема 3. Множество всех бесконечных десятичных дробей {x}, 0 < x < 1, несчетно.

Доказательство. Предположим, что это множество счетное. Тогда его элементы можно занумеровать:

х₁ = 0, а₁₁ а₁₂ а₁₃ …

х₂ = 0, а₂₁ а₂₂ а₂₃ …

х₃ = 0, а₃₁ а₃₂ а₃₃ …

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

Рассмотрим дробь х = 0, b₁ b₂ b₃ ..., где b₁ ¹ а₁₁, b₂ ¹ а₂₂, b₃ ¹ а₃₃, . . . и b_i ¹ 0; 9. Тогда x ¹ x_i "i = 1, 2, 3, ... и 0 < x < 1, т.е. десятичная дробь х оказалась незанумерованной. Это противоречит предположению о счетности множества.

Вопросы и упражнения.

1)Какие множества называются эквивалентными (равномощными)?

2)В каком случае два конечных множества являются эквивалентными? Обосновать.

3)Обосновать эквивалентность следующих пар множеств:

а) А = {(x,y)| x² + (y – 1)² = 1, y < 1} и B = {x| - 2 £ x £ 3};

б) A = {x| 0 < x < 1} и B= {x| 0 £ x £ 1}.

4) Доказать счетность множества рациональных чисел.

5) Доказать существование иррациональных чисел.

6) Можно ли счетное множетво представить в виде объединения: а) счетного и конечного множеств; б) двух и более счетных множеств?