Понятие предела последовательности

Начальные сведения о пределах встречаются в школьном курсе математики. В алгебре с понятием предела связан вопрос о сумме членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии; в геометрии – вопрос о вычислении длины окружности и площади круга, поверхностей и объемов круглых тел.

В курсе математического анализа понятие предела является одним из основных. С помощью предела вводятся производная и определенный интеграл; пределы же являются основным средством в построении теории рядов.

Предварительно ознакомимся с понятием числовой последовательности.

Пусть каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число

, т.е. пусть задана функция натурального аргумента. Тогда говорят, что задана числовая последовательность . Обычно числовую последова-тельность задают формулой .

Так, например:

1) формула числам натурального ряда

1, 2, 3, 4, 5,…

ставит в соответствие последовательность нечетных чисел

1, 3, 5, 7, 9,… ;

2) формула задает числовую последовательность

-1, -3, -5, -7, -9,…,

которая является бесконечно убывающей арифметической прогрессией;

3) формула задает возрастающую последовательность правильных дробей

,… ;

4) формула задает убывающую последовательность неправильных дробей

…

Во всех приведенных примерах заданные последовательности являются бесконечными: для каждой из них не существует последнего члена. Вместе с тем сравнение характера этих последовательностей показывает, что члены первой последовательности по мере увеличения их номера могут стать больше любого произвольно выбранного числа, а члены второй последова-тельности – меньше любого произвольно выбранного числа. Поэтому первую последовательность называют неограниченно возрастающей, а вторую - неограниченно убывающей. Третья и четвертая последовательности являются ограниченными. Члены первой из них, хотя и возрастают с увеличением их номера, но при этом остаются меньше , а члены второй из них, убывая с увеличением номера, остаются при этом больше .

Сравнивая члены третьей последовательности, т.е. значения переменной , с числом , мы видим, что с увеличением номера члена разность по своей абсолютной величине неуклонно убывает и может стать меньше любого наперед заданного положительного числа. (Проверьте самостоятельно это утверждение, например, взяв )

Таким образом, значения переменной , т.е. члены последова-тельности , по мере возрастания номера приближаются к числу так, что абсолютная величина разности становится меньше любого произвольно выбранного положительного числа. Число называют пределом переменной, или числовой последовательности , при возрастании аргумента (номера) .

Точно так же для переменной число является пределом, к которому эта переменная стремится, когда аргумент возрастает.

Определение Число А называется пределом последовательности , если для любого сколь угодно малого положительного числа (эпсилон) можно указать такой номер N, что при всяком n N абсолютная величина разности < .

Это кратко записывается так:

, или , если при .

Чтобы отметить неограниченный характер изменения аргумента n, когда переменная (функция) стремится к пределу, пишут так: