КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Классификация функций и построение графиковОтображение называется сюръективным (или отображением «на»), если каждый элемент из имеет, по крайней мере, один прообраз, т.е. . Примерами сюръективных отображений являются функции , . Отображение называется инъективным (или вложением), если из следует , т.е. каждый образ обладает ровно одним прообразом . Примерами инъективных отображений могут служить монотонные функции , , и т.д. Отображение называется биективным, если оно одновременно и инъективно и сюръективно. Обратимость отображений Пример Пусть зависимость спроса от цены при прочих неизменных условиях определяется уравнением . Если требуется определить, при каком значении цены спрос будет равен 80, то в этом случае мы решаем обратную задачу: по значению функции определяем значение аргумента . ◄ Пусть . Рассмотрим уравнение, порожденное отображением : , (1) где – неизвестное, – параметр. Ясно, что если инъективно, но не сюръективно, то существуют такие значения параметра, при которых уравнение (1) не имеет решений, а для тех значений параметра, при которых у уравнения есть решения, это решение для каждого значения параметра единственно. Если сюръективное отображение, но не инъективное, то уравнение (1) имеет решения при любом значении параметра, и существует хотя бы одно такое значение параметра , при котором уравнение (1) имеет более одного решения. В случае, когда – биективное отображение, уравнение (1) имеет при каждом значении параметра единственное решение. В этом случае отображение определяет другое отображение , которое каждому элементу ставит в соответствие решение уравнения (1). Это решение обозначается . Отображение называется обратным для отображения . Нетрудно убедиться, что и . Отображение называется обратимым, если существует отображение такое, что , , , . При этом отображение называется обратным к . ТЕОРЕМА (критерий обратимости). Для того чтобы отображение было обратимым, необходимо и достаточно, чтобы оно было биективным. Примеры 1) не является обратимым; 2) не является обратимым; 3) не является обратимым; 4) обратим, .
Таким образом, чтобы найти функцию =, обратную к функции , достаточно решить уравнение относительно . Традиционно независимую переменную обозначают , а зависимую . Итак, если уравнение можно разрешить относительно , то полученное явное выражение задает функцию, обратную по отношению к функции . При этом для всех допустимых значений выполнено соотношение . Пример Функции и взаимно обратные. Графики их симметричны относительно биссектрисы I и III координатных углов. Из определения обратной функции следует, что для любой строго монотонной функции существует обратная. При этом если возрастает, то и также возрастает. Например, функция на строго возрастает. На этом промежутке существует обратная ей функция , которая также возрастает.
Пример В формуле функции спроса цена является аргументом, а количество товара ,которое покупатели готовы приобрести ‑ функцией. Разрешив уравнение функции спроса относительно переменной , получим функцию, обратную данной: . Эта функция определяет максимально возможную цену , при которой товар в количестве может быть продан на рынке. ◄ Композиция функций (сложная функций) Пусть , . Композицией (или суперпозицией) функций и называется функция, обозначаемая и определяемая следующим равенством: . Правая часть этого равенства показывает, что значение композиции в точке вычисляется в результате последовательного действия сначала , а затем (на полученный результат) функции . Пример Пусть и , и . Тогда , . Попутно мы доказали, что во множестве функций, на которых определены и и , композиция не является коммутативной операцией.
|