Типовой пример. Доказать, пользуясь определением предела последовательности, что .

Доказать, пользуясь определением предела последовательности, что .

►Имеем:

. Решив неравенство , получим и ясно, что достаточно выбрать , чтобы для неравенство выполнялось для всех . Что и требовалось.

Типовой пример

Дана последовательность . Найдите: 1) ; 2) такое, что для всех выполняется неравенство .

1) ►Имеем

.

2) ►Найдём требуемое . Из проделанных выше выкладок следует, что должно быть подобрано так, чтобы для всех

или ; отсюда следует , . Следовательно, можно взять .

Предел отношения многочленов

Пусть x_n и y_n многочлены от n степени k и m соответственно, т.е.

x_n=P_k(n)=a₀ n^k+a₁n^k-1+...+a_k, y_n=Q_m(n)=b₀n^m+b₁n^m-1+...+b_m

Докажем, что предел отношения многочленов равен пределу отношения их старших членов, т.е.

.

Имеем: , что и требовалось.

Итак,