Теорема (первый замечательный предел): Рассмотрим функцию . Эта функция в точке не определена, тем не менее ее предел при существует, причем .

Следствия из теоремы:

; ; ; ;

; ; ;

; .

Теорема (второй замечательный предел): Выражение , где - натуральное число, стремится к вполне определенному пределу, когда число . Этот предел большее 2 и меньше 3. То есть можно утверждать .

Следствия из теоремы:

; .

Примеры:

1.

Решение: = = =

(воспользовались эквивалентностью ~ ). Ответ: 0.

2.

Решение: = = = =

(воспользовались эквивалентностью ~ ). Ответ: .

3.

Решение: = (введем замену: ; при )

= = = = =

(воспользовались эквивалентностью ~ ). Ответ: .

4.

Решение: = (введем замену: при )

= = = = = =

= = = = = ;

(воспользовались эквивалентностью ~ ; ~ ;). Ответ: .

5.

Решение: = (введем при )

= = = =

= = = = =

= = = ;

(воспользовались эквивалентностью ~ ; ~ ;).

Ответ: .

6.

Решение: = (воспользуемся вторым замечательным пределом,

выполним необходимые преобразования - в скобках выполним деление)

= = = =

Ответ: .

7.

Решение: = (воспользуемся вторым замечательным пределом,

выполним необходимые преобразования – распишем предел частного, как частное пределов и решим получившиеся педель отдельно друг от друга)

= = (решим отдельно предел числителя и знаменателя)

числитель: = (выделим в скобках единицу, необходимую для второго

замечательного предела: разделим каждое слагаемое на 3),

= = = = = (второе слагаемое представим в виде обратной дроби и введем ), тогда

= = = ;

знаменатель: = = (рассуждения аналогичные, как и в решении предела числителя только здесь введем ), тогда = = = , таким образом, возвращаясь к общему решению, имеем: = = .

Ответ: .

Задания для самостоятельной работы:

Вычислите пределы функций, используя таблицу эквивалентных бесконечно малых, первый и второй замечательные пределы:

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

7. ; 8. ; 9. ;

10. ; 11. ; 12. ;

13. ; 14. ; 15. ;

16. ; 17. ; 18. ;

19. ; 20. .

Ответы:

1.	;	8.	;	15.	;
2.	;	9.	;	16.	;
3.	;	10.	;	17.	;
4.	;	11.	;	18.	;
5.	;	12.	;	19.	;
6.	;	13.	;	20.	.
7.	;	14.