Теорема Гаусса. Теорема Гауссаутверждает, что поток вектора напряженности электрического поля в вакууме через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме

Теорема Гауссаутверждает, что поток вектора напряженности электрического поля в вакууме через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на

(9)

- электрическая постоянная, в СИ

Теорема Гаусса в интегральной форме (9) связывает значения вектора в точках некоторой замкнутой поверхности с величиной заряда, находящегося внутри объема, ограниченного этой поверхностью, т.е. связывает величины, относящиеся к разным точкам поля. Можно, однако, придать этой теореме форму, включающую величины, относящиеся к одной и той же точке поля: (10)

где ρ- объемная плотность электрических зарядов. Соотношение (10), выражающее теорему Гаусса в дифференциальной форме, носит названиеуравнения Пуассона.

Учитывая, что сумма частных производных в (10) есть дивергенция (расхождение) вектора , уравнение Пуассона можно записать в следующем виде:

(11)

Где равно:

Теорема о циркуляции (теорема Стокса)

Циркуляция вектора в любом электростатическом поле равна нулю.

(12)

Поскольку электрическое поле определяется конфигурацией всех заря­дов, теорема Гаусса в общем случае не дает возможности найти это поле. Однако применение теоремы для расчета полей становится довольно эф­фективным, если поле обладает определенной симметрией. Поэтому для использования данного метода необходимо:

1. Знать конфигурацию электрического поля (цилиндрическое, сфериче­ское и т.д.).

2. Правильно выбрать достаточно простую замкнутую поверхность S в формуле (9), так чтобы вычисление потокане приводило к дополнительным математическим трудностям.

Примеры структуры электрических полей для некоторых распределений зарядов

1. Поле точечного заряда

(13)

(14)

- напряженность поля в точке ;

q - неподвижный точечный заряд - источник поля;

- орт радиус-вектора ;

- потенциал поля в точке ;

- радиус-вектор, проведенныйиз центра заряда до данной точки.

1. Поле конденсатора, образованного двумя бесконечными пластинами.

(15) Рис 4

(16)

Рис. 4

- поверхностная плотность зарядов на пластинах, [ ]=Кл/м² :

d- расстояние между пластинами, м

U - разность потенциалов между пластинами (напряжение на конденсаторе).

3. Поле конденсатора, образованного двумя бесконечно длинными коа­ксиальными цилиндрами.

(17)

(18)

Рис.5

-линейная плотность заряда, [ ] =Кл/м;

r - расстояние, отсчитываемое от оси симметрии;

а - радиус внутреннего цилиндра;

b - радиус внешнего цилиндра;

U - разность потенциалов между электродами.