Основные определения и обозначения

Тема I. Введение в теорию множеств

Вступление

До второй половины XIX в. понятие «множество» не рассматривалось в качестве математического («множество книг на полке», «множество человеческих добродетелей» и т.д. — это были чисто бытовые обороты речи). Теория множеств была создана как математическая дисциплина немецким математиком Г. Кантором (1845–1919) в 70-х годах XIX в., а спустя несколько десятилетий почти вся математика была построена на теоретико-множественной основе. Теория множеств — это прежде всего универсальный язык, с помощью которого создаются структурные модели тех или иных явлений. Надо понимать этот язык и уметь им пользоваться, чтобы лучше понимать язык всей математики.

Справочные материалы и примеры

Основные определения и обозначения

Понятие множества является неопределяемым понятием математики, как точка, число и т.д. Создатель теории множеств Г. Кантор определил множество как «объединение в одно целое объектов, хорошо различимых нашей интуицией или нашей мыслью», или «множество есть многое, мыслимое нами как единое».

Предметы, из которых состоит множество, называют элементами данного множества.

Множества обозначают большими буквами A, B, C, …, X, Y, Z, а их элементы — строчными a, b, c,…, x, y, z.

Запись хÎА означает, что объект х является элементом множества А (читается: «х элемент множества А» или «объект х принадлежит множеству А»). Если элемент х не принадлежит множеству А, то пишут хÏА.

Запись АÌВ означает, что каждый элемент множества А принадлежит множеству В (читается: «множество А содержится в множестве В» или «множество А является подмножеством множества В» (рис.1).

Рис. 1. Множество АÌВ

Для наглядного представления множеств и отношений между ними пользуются так называемыми диаграммами Венна (или кругами Эйлера), на которых множество представляют как замкнутую линию, внутри которой находятся все элементы данного множества, а снаружи — элементы, не принадлежащие данному множеству.

Множество, состоящее из конечного числа элементов (причем не имеет значения, известно это число или нет, важно, что оно существует), называется конечным (элементы записываются в фигурных скобках), а множество, состоящее из бесконечного числа элементов, — бесконечным.

Множество, которое не содержит ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается символом Æ.

Фиксированное множество, включающее в себя все множества, с которыми проводятся данные рассуждения, называется универсальным (обозначается U и изображается на диаграммах Венна в виде прямоугольника).

Если множество А подмножество некоторого универсального множества U, тогда множество Ā, состоящее из всех элементов множества U, не принадлежащих А, называется дополнением множества А до U.

Примеры:

1. Пусть А — множество всех художественных книг в библиотеке, В — множество научно-популярной литературы, С — множество учебной литературы. Для всех этих множеств универсальным является множество всех книг в библиотеке,
так как множества А, В, С являются его подмножествами. Графически это можно изобразить, как на рис. 2.	Рис. 2. U — универсальное множество

2. Пусть U множество всех студентов института, А — множество всех студентов факультета культурологии и художественного творчества, тогда Ā есть множество студентов всех остальных факультетов института.