Пример. n-ая степень множества А:

. .

n-ая степень множества А:

- множество упорядоченных наборов (строк длины n) из n элементов множества A.

(*) Понятие о мощности множества

Определение.] X, Y – множества (возможно Y = X). Отображение - это правило (закон), по которому каждому ставится в соответствие единственный элемент .

Числовая функция f – это отображение .

Пример.На занятии Х – множество студентов, Y - множество стульев, y = fx - стул, на котором сидит студент.

Возможно два (или более) студентов на одном стуле , но , или есть пустые стулья .

Определение.Отображение называется биекцией (взаимно однозначным

(1-1) отображением) ó .

Когда отображение f из примера является биекцией?

Определение.Множества X и Y называются эквивалентными (X ~ Y) ó существует биекция .

Теорема 1.Конечные множества X и Y эквивалентны ó они состоят из одинакового числа элементов.

Определение.Множества, эквивалентные N, называются счётными.

Теорема 2. - счётные множества.

Доказательство. Z ~ N. Построим 1-1 f : N → Z, т.е. покажем, что элементы Z можно перенумеровать элементами N (перенумерация – это определение биекции f : N → Z).

Z : 0 1 2 3 …

12 3 ….

Определение.Мощность(Card X)множества Х - это то общее свойство, которое имеет любое множество, эквивалентное Х.

Для конечного множества Х Card X = число элементов в Х.

Теорема 3. Множество R действительных чиселне эквивалентно множеству N натуральных чисел.

Следствие.Card R ≠ Card N. Card R называется мощностью континуума.

Теорема 4.При .

Доказательство. 1)

2) Для любого

Задача.Доказать, что множество N натуральных чисел эквивалентно множеству чётных натуральных чисел.