Свойства степеней

Произведение степеней
Деление степеней
Возведение степени в степень

7.

8.

Свойства степеней с рациональным показателем. Покажем теперь, что при сформулированном выше определении степени с рациональным показателем сохраняются основные свойства степеней, верные для любых показателей (разница заключается в том, что приводимые далее свойства верны только для положительных оснований). Для любых рациональных чисел r и s и любых положительных а и b справедливы равенства: 1. ar*as=ar+s. 2. ar:as=ar-s. 3. (ar)s=ars. 4. (ab) r=ar*as. 5. Для доказательства этих свойств надо воспользоваться определением степени с рациональным показателем и доказанными свойствами корней. Докажем, например, свойства 1, 3. Пусть mn и , где n и q — натуральные числа, а m и р — целые. Тогда ; ; . Отметим следующие два свойства степеней с рациональными показателями: 6. Пусть r — рациональное число и 0<а<b. Тогда ar<br при r>0, ar>br при r<0. 7. Для любых рациональных чисел r и s из неравенства r>s следует, что ar > as при а>1 ; аr<as при 0<а<1. Докажем свойство 6. Если r>0, то r можно записать в виде , где m и n — натуральные числа. Из неравенства 0<a<b и свойств степени с целым показателем следует, что am<bm. По свойству корней (свойство 6) из этого неравенства получаем , т.е. ar < br. В случае r <0 проводится аналогичное рассуждение. Для доказательства свойства 7 приведем сначала рациональные числа r и s к общему знаменателю: и , где n - натуральное число, а m и p — целые. Из неравенства r>s следует, что m>p. Если а>1, то > 1 и по свойству степени с целым показателем . Остается заметить, что и . Случай 0<а<1 разбирается аналогично.

9. Можно определить степень не только для рационального, но и для любого действительного показателя x. Для этого рассматривают последовательность рациональных приближений к числу x, т. е. последовательность рациональных чисел которые задают число x с любой степенью точности. Затем вычисляют степени с рациональными показателями Оказывается, что эти числа являются приближениями к некоторому числу y, причём, уточнением рационального приближения числа x можно добиться вычисления с любой степенью точности. Это число и считают степенью с показателем x.

10. Пусть дано положительное число a и произвольное действительное число n. Число aⁿ называется степенью, число a — основанием степени, число n — показателем степени. По определению полагают:

Если a и b — положительные числа, x и y — любые действительные числа, то справедливы следующие свойства:

11. Логари́фм числа b по основанию a (от греч. λόγος — «слово», «отношение» и ἀριθμός — «число»^[1]) определяется как показатель степени, в которую надо возвести основание a, чтобы получить число b. Обозначение: . Из определения следует, что записи и равносильны.

Например, , потому что .

12. ЛОГАРИФМ число, применение которого позволяет упростить многие сложные операции арифметики. Использование в вычислениях вместо чисел их логарифмов позволяет заменить умножение более простой операцией сложения, деление - вычитанием, возведение в степень - умножением и извлечение корней - делением. Общее описание. Логарифмом данного числа называется показатель степени, в которую нужно возвести другое число, называемое основанием логарифма, чтобы получить данное число. Например, логарифм числа 100 по основанию 10 равен 2. Иначе говоря, 10 нужно возвести в квадрат, чтобы получить число 100 (102 = 100). Если n - заданное число, b - основание и l - логарифм, то bl = n.

13.