Односторонние производные

Производная и ее свойства

Производная, ее геометрический и экономический смысл

Важнейшим понятием математического анализа является производная, которая определяет скорость изменения функции.Производной функции y=f (x) в точке х₀ называется предел отношения приращения функции

к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю

(1)

Пример 1.Вычислить производную функции y= х² точке х = 5.

Решение. Приращение заданной функции в заданной точке равно

∆ f (5) = f (5 + ∆ х) – f (5) =5² + 10 ∆ х + ∆ х² – 5² =10 ∆ х + ∆ х²

Тогда по определению производной (1) получаем

Односторонние производные

Правой (левой) производной функции f (х) в точке х₀ называется предел справа (слева) отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю

(2)

Пример 2.Вычислить производную функции y = |х – 5| в точке

х = 5.

Решение. Представим заданную функцию так:

|х – 5| =

Ниже дан график этой функции.

Рис.1

Найдем односторонние производные, т.е. производные слева и справа:

f’ (5– 0) = ,

f’(5+0) = ,

Односторонние производные не равны друг другу. Следовательно, производная функции y = |х – 5| в точке х = 5 не существует!