Геометрический смысл производной

Касательной к графику функции в заданной точке называется прямая, к которой стремится секущая при стремлении одной общей точки к другой.

Рис.2

Запишем уравнение секущей как уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом:

или, точнее

(3)

Устремим общую точку x₁ графика заданной функции и секущей к точке x₀. Поскольку

,

то вычисление предела даёт

y – f (x₀) = f’ (x₀) (х – x₀)

Это и есть уравнение касательной с угловым коэффициентом

k_кас = tg α = f’ (x₀)

Итак, производная функции равна тангенсу угла наклона касательной к графику заданной функции в заданной точке.

Нормалью называется прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной.

у – f (x₀) = k_норм (х – х₀),

где

k_норм = tg (α + π/2) = - ctg α =

Таким образом, уравнение нормали имеет вид:

Пример 3. Найти уравнение касательной и нормали для функции y= х² в точке х = 5.

Решение. Так как f’ (5) = 10, f (5) = 25, то уравнение касательной

у_кас – 25 = 10 (х – 5) или y = 10 x – 25

Уравнение нормали:

у_норм – 25 = - 0,1 (х – 5) или y = -0,1 x + 25,5

Покажем, что если производная положительна, то функция возрастает, а если отрицательна, то убывает.

Функция f (x) возрастает (убывает) на интервале (а, b) , если для х (а, b) выполняется:

∆ f (х₀) > 0 (∆f (х₀) < 0) при ∆х > 0.

Рис.3

Пусть f' (х₀) > ε > 0. Тогда из определения производной как предела следует

f' (х₀) – ε < < f' (х₀) + ε

Отсюда вытекает, что

> 0 при > 0