КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Задача 2. Найдите методом наименьших квадратов значения коэффициентов линейной зависимости у=ax+b по заданным эмпирическим данным
Вариант 5
Задача 1.
Найдите методом наименьших квадратов значения коэффициентов линейной зависимости у=ax+b по заданным эмпирическим данным. Используя найденную линейную зависимость, найдите значение у в точке х=N+0,55, где N – номер варианта.
| х | 5,1 | 5,2 | 5,3 | 5,4 | 5,5 | 5,6 | 5,7 | 5,8 | 5,9 | ||
| у | 12,36 | 13,63 | 13,304 | 13,148 | 13,482 | 14,24 | 14,516 | 14,883 | 15,246 | 15,369 | 15,158 |
Решение:
Для нахождения коэффициентов а и b используем формулы метода наименьших квадратов:
Расчеты для решения системы уравнения представлены в таблице 1.
Таблица 1 – Расчеты
| i=1 | i=2 | i=3 | i=4 | i=5 | i=6 | i=7 | i=8 | i=9 | i=10 | i=11 | Сумма | |
| хi | 5,1 | 5,2 | 5,3 | 5,4 | 5,5 | 5,6 | 5,7 | 5,8 | 5,9 | 60,5 | ||
| уi | 12,36 | 13,63 | 13,304 | 13,148 | 13,482 | 14,24 | 14,516 | 14,883 | 15,246 | 15,369 | 15,158 | 155,336 |
| xi*yi | 61,800 | 69,513 | 69,181 | 69,684 | 72,803 | 78,320 | 81,290 | 84,833 | 88,427 | 90,677 | 90,948 | 857,4756 |
| xi2 | 25,00 | 26,01 | 27,04 | 28,09 | 29,16 | 30,25 | 31,36 | 32,49 | 33,64 | 34,81 | 36,00 | 333,85 |
Далее решим систему уравнений:
=> 
Таким образом, уравнение линейной зависимости имеет вид: у =2,8433х - 1,5165.
Используя найденную линейную зависимость, определим значение у в точке х=5+0,55 = 5,55.
у = 2,8433*5,55 – 1,5165 ≈ 14,2636.
Ответ:у =2,8433х - 1,5165;
у ≈14,2636 при N=5,55.
Задача 2.
Решить задачу методом линейного программирования: найти минимум функции при заданных ограничениях (N – номер варианта).
| N | f(x,y) | Ограничения | ||||
| 3x+2y | x+y≤6 | x+2y≥5 | 2x+y≥3 | x≥0 | y≥0 |
Решение:
Решим задачу симплекс-методом.
Целевая функция:
F = 3 х + 2 y → min
Запишем ограничения в виде системы уравнений:
Приведем ограничения к виду равенств, вводя дополнительные переменные s1, s2 и s3, при этом если в преобразуемом неравенстве стоит знак ≥, то при переходе к равенству знаки всех его коэффициентов и свободных членов меняются на противоположные:
х, y, s1, s2, s3 ³0
F = 3 х + 2 y + 0 s1 + 0 s2 + 0 s3→ min.
Переменные s1, s2 и s3 входят в одно уравнение системы (первое, второе и третье соответственно) с коэффициентом 1, а в остальные уравнения системы - с коэффициентом ноль, поэтому они являются базисными переменными. Остальные переменные - свободные переменные. Приравняв свободные переменные нулю в получившийся системе ограничений, получаем начальное опорное решение:
F= (0;0;6;-5;-3),
Составим симплекс-таблицу (таблица 2)
Таблица 2 – Исходная симплекс-таблица 1
| Базисные переменные | Свободные члены | x | y |
| s1 | |||
| s2 | -5 | -1 | -2 |
| s3 | -3 | -2 | -1 |
| F |
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты, находим среди них максимальный по модулю - это элемент: -5, он задает ведущую строку – s2. В этой строке так же находим максимальный по модулю отрицательный элемент: -2 он находится в столбце y который будет ведущим столбцом. Разрешающий элемент равен -2 и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки (таблица 3).
Таблица 3 – Нахождение разрешающего элемента
| Базисные переменные | Свободные члены | x | y |
| s1 | |||
| s2 | -5 | -1 | -2 |
| s3 | -3 | -2 | -1 |
| F |
Пересчитаем таблицу (таблица 4).
Таблица 4 – Симплекс-таблица 2
| Базисные переменные | Свободные члены | x | s2 |
| s1 | 3,5 | 0,5 | 0,5 |
| y | 2,5 | 0,5 | -0,5 |
| s3 | -1,5 | -1,5 | -0,5 |
| F | -5 |
Для нахождения ведущей строки найдем максимальный по модулю отрицательный свободный член (-0,5). Ведущая строка – s3. В строке s3 так же найдем максимальный по модулю отрицательный свободный член (-1,5). Столбец x - ведущий. Пересчитаем таблицу (таблица 5).
Таблица 5 – Симплекс-таблица 3
| Базисные переменные | Свободные члены | s3 | s2 |
| s1 | 10/3 | 1/3 | 1/3 |
| y | 7/3 | 1/3 | -2/3 |
| x | 1/3 | -2/3 | 1/3 |
| F | -17/3 | 4/3 | 1/3 |
Индексная строка не содержит отрицательных элементов - найден оптимальный план. Таким образом, таблица 5 - окончательный вариант симплекс-таблицы. Так как исходной задачей был поиск минимума, оптимальное решение есть свободный член строки F, взятый с противоположным знаком.
Найдено оптимальное решение F=17/3≈5,667 при значениях переменных равных: x = 1/3 ≈ 0,333, y = 7/3 ≈ 2,333.
Ответ: f (x,y) = 17/3, при x = 1/3 и y = 7/3.
Дата добавления: 2015-08-05; просмотров: 321; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав |