Задача 3. Разработать математическую модель и решить задачу: Лампа висит над центром круглого стола радиуса r

Разработать математическую модель и решить задачу: Лампа висит над центром круглого стола радиуса r. При какой высоте лампы над столом освещенность предмета, лежащего на краю стола, будет наилучшая? (Освещенность прямо пропорциональна косинусу угла падения лучей света и обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника).

Решение:

Освещенность прямо пропорциональна косинусу угла падения лучей света и обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника:

где α – угол падения лучей;

k – сила света источника;

h – высота лампы над столом;

r – радиус стола.

Рисунок 1

Так как , то

Таким образом, целевая функция:

→ max

Для упрощения решения задачи вместо функции E возьмем функцию

для упрощения формулы заменим h²=z, тогда:

Для нахождения минимума функции необходимо решить уравнение T’=0, при этом z=r²/2. Тогда .

То есть при высоте лампы над столом освещенность предмета, лежащего на краю стола, будет наилучшая.

Ответ: .

Задача 4.

Определите лучший вариант из 3-х:

Решение:

Определим оптимальные значения по всем параметрам (таблица 6).

Таблица 6 – Оптимальные значения

Рассчитаем эффективность W по каждому варианту по формуле:

W = ∑(P_ij*l_i/P_opt)

Например, для варианта 1 эффективность составит:

W₁ = 0,1*0,6/0,8 + 0,35*0,3/0,3 +0,25*82/85 +0,3*270/250=0,99.

Целевую функцию определим по следующей формуле:

F = W / C_j.

Результаты расчетов эффективности и целевой функции по всем вариантам представлены в таблице 7.

Таблица 7 – Результаты расчета

Для наглядности представления результатов моделирования построим диаграмму значений комплексной целевой функции по вариантам (рисунок 2).

Рисунок 1 - Значения комплексной целевой функции

Таким образом, лучший вариант – 3, так как при нем значение целевой функции достигает максимума.

Ответ: вариант 3