Рівняння теплопровідності і умови однозначності

Рівняння (7.3) є математичним виразом закону теплопровідності Фур'є, а значення l характеризує інтенсивність процесу теплопровідності.

Перенесення теплоти в твердому тілі здійснюється шляхом теплопровідності, тому з урахуванням рівняння (7.3) і співвідношення рівняння теплопровідності набуде вигляду

. (7.5)

Рівняння (7.5) виражає зв'язок між просторовими та тимчасовими змінами температури і дозволяє визначати температурне поле у твердому тілі. Його можна записати інакше:

. (7.6)

де , (м²/с) – коефіцієнт температуропровідності (характеризує швидкість поширення тепла в тілі), а вираз – оператор Лапласа.

Вираз (7.6) називають диференціальним рівнянням теплопровідності Фур'є.

У випадку поширення тепла в одному напрямку (пластина необмежених розмірів) і відсутності внутрішніх джерел тепла ( ) рівняння (7.6) має простий вигляд:

.

Для одержання однозначного розв'язку рівняння (7.6), що описує клас явищ теплопровідності, необхідне виконання умов однозначності (єдиності):

1) геометричних, згідно з якими задаються форма й розміри твердого тіла;

2) фізичних, заданих фізичними властивостями тіла , , або їх залежностями від температури;

3) початкових, що встановлюють розподіл температури в тілі в початковий момент часу (тимчасова гранична умова)

; (7.7)

4) умов сполучення теплового потоку на межах різних шарів даного тіла

;

5) закону взаємодії тіла з навколишнім середовищем (просторова гранична умова).

Сукупність початкових і граничних умов називають крайовими умовами.

Просторову граничну умову можна задати чотирма способами.

Перший спосіб полягає в заданні закону розподілу температури по поверхні тіла залежно від часу:

. (7.8)

Режим нагрівання (охолодження), при якому розподіл температур у тілі не залежить від початкових умов і визначається тільки граничними, називають регулярним. Умову, задану таким чином, називають граничною умовою першого роду.

Другий спосіб полягає в заданні закону розподілу щільності теплового потоку по поверхні тіла залежно від часу:

, (7.9)

Умову, задану таким чином, називають граничною умовою другого роду.

Коефіцієнт тепловіддачі a визначає інтенсивність тепловіддачі з поверхні. Кількість теплоти, що відповідає значенню q_ПОВ, повинна підводитись до поверхні тіла шляхом теплопровідності зсередини, тому

, (7.11)

де – складова градієнта температури, нормальна до поверхні тіла.

Порівнюючи (7.10) і (7.11), одержуємо

. (7.12)

Відповідно до граничних умов третього роду повинні бути задані значення температури середовища t і коефіцієнта тепловіддачі a.

У високотемпературних об'єктах (енергоустановках, печах та ін.) у загальному випадку має місце складний теплообмін, значна частина якого припадає на променевий або радіаційний теплоперенос. Тепловий баланс на границі в цьому випадку може бути описаний рівнянням

. (7.13)

Якщо різниця температури оточення Т_ОТ і поверхні Т_ПОВ невелика і дотримується рівність , то такий випадок можна звести до граничних умов третього роду:

, (7.14)

де a_ВИП – коефіцієнт тепловіддачі випромінюванням, Вт/(м²°С)

,

де Вт/(м²К⁴) – постійна Стефана-Больцмана; e – ступінь чорноти тіла, що залежить від природи тіла, його температури і стану поверхні (визначається дослідним шляхом 0,01 < e < 0,99).

Четвертий спосіб задання граничних умов являє собою випадок, коли відбуваються: теплообмін між твердим тілом і рідиною шляхом теплопровідності (при малих швидкостях течії рідини) , або контактний теплообмін між двома твердими тілами, при якому

;

(7.15)

Умову, задану таким чином, називають граничною умовою четвертого роду.

При дослідженні процесів тепло-масообміну, зокрема, в огороджуючих конструкціях, найпоширенішими є граничні умови третього роду, які характеризують конвективний теплообмін і можуть бути застосовані в більш складних випадках теплообміну, коли тепло на поверхні тіла передається шляхом конвекції, радіації та кондукції.

Менше застосовуються граничні умови першого й четвертого роду. Граничні умови другого роду в основному використовуються, коли поверхня теплоізольована або є віссю симетрії температурного поля, . у У цьому випадку рівняння (7.9) має вигляд q_П = 0, або .

Таким чином, дослідження теплового стану будь-яких конструктивних елементів у загальному випадку пов'язане з необхідністю вирішення диференціального рівняння теплопровідності Фур'є. .

Якщо за відомим рівнянням процесу (7.6) і крайовими умовами (7.8) – (7.10), (7.15) визначається температурне поле об'єкта, тобто встановлюються причинно-наслідкові зв'язки, то вирішується пряме пряма завдання задача теплопровідності. Визначення умов однозначності або уточнення самої математичної моделі явища (що включає в себе рівняння процесу й крайові умови) за наявними даними про температурне поле об'єкта, тобто відновлення причинних характеристик складає предмет обернених задач теплопровідності. Процедура оцінки, визначення невідомих характеристик (параметрів) для встановленого виду теплової моделі отримала назву ідентифікації.

Як ми вже відзначаливідзначалось, розрізняють два режими поширення тепла в тілі: стаціонарний – і нестаціонарний. На практиці найбільш часто зустрічаються процеси нагрівання (охолодження) в умовах нестаціонарних

режимів. Так, у регенеративних теплообмінниках нагріваючим середовищем спочатку нагрівається теплоємна насадка, яка потім віддає тепло середовищу, що нагрівається.

Теплопровідність у стаціонарному режимі. Розглянемо плоску стінку товщиною d з температурами поверхонь і ; .

З рівняння Фур'є для сталого режиму отримуємо . Отже

Т = С₁ x + C₂, (7.16)

де С₁, C₂ – постійні інтегрування. З (7.16) випливає, що в плоскій стінці без внутрішніх джерел теплоти температура розподіляється за лінійним законом.

Визначивши значення постійних при ( і ) і підставивши їх у рівняння (7.16), знайдемо значення температури в будь-якій точці по товщині (d) стінки:

. (7.17)

Тоді тепловий потік для одиничної поверхні (1 м²) буде рівним

. (7.18)

Якщо задано питомий потік q, що впливає на стінку, то значення температури в кожній її точці по координаті дорівнює

,

а загальна кількість тепла, що проходить через стінку товщиною d і площею S за час t ,

.

Закон Фур'є можна записати у формі, аналогічній закону Ома в електротехніці, ввівши поняття про тепловий (термічний) опір стінки R, (м²°С)/Вт:

. (7.19)

Для складної стінки, що складається з n шарів, тепловий опір буде рівним сумі опорів окремих шарів:

, (7.20)

і питомий тепловий потік можна визначити за формулою

, (7.21)

а розподіл температури всередині стінки зобразити у вигляді ламаної прямої лінії. При цьому температурний перепад для кожного шару d_i пропорційний тепловому опору .

Аналогічно можна отримати вирази, які описують закономірності переносу тепла у елементах теплотехнічного обладнання, що мають трубчасту форму із циліндричними стінками. До цього питання повернемось в наступній темі при розгляді складного теплообміну та теплової ізоляції.

Теплопровідність у нестаціонарному режимі. Нестаціонарні процеси теплопровідності мають місце при нагріванні (охолодженні) твердих тіл і супроводжуються зміною в часі температури, внутрішньої енергії та ентальпії речовини. Задачі нестаціонарної теплопровідності, що при цьому виникають, можуть бути вирішені як точними аналітичними (в основному задачі для тіл класичної форми – пластини, циліндра, кулі), так і наближеними чисельними методами (у першу чергу при вирішенні багатомірних задач із змінними значеннями l, с, r і залежністю q від координат і часу, змінними й нелінійними граничними умовами), коли неможливо використати точні аналітичні методи.

Конвективний теплообмін. Процес теплообміну між рухомим середовищем (робочим тілом) і стінкою називається конвективним теплообміном або конвекцією, яка може бути вільною та вимушеною. Конвекція, яка ще має назву тепловіддачі, являє собою більш складний процес у порівнянні з теплопровідністю.

Вільна конвекція виникає під дією неоднорідного поля зовнішніх масових сил (сил гравітаційного, інерційного, магнітного та електричного поля), прикладених до часток рідини усередині системи. Наприклад, у приміщенні, може бути викликана нагріванням повітря від радіатора системи опалення. Вільний рух повітря викликається підіймальною силою, обумовленою різницею щільності холодних і нагрітих його частин. У загальному випадку інтенсивність вільного руху залежить від виду робочого тіла, різниці температур між окремими його частками і об'єму простору, в якому протікає процес.

Вимушена конвекція виникає під дією зовнішніх поверхневих сил, прикладених на границях системи, або під дією однорідного поля масових сил, що діють у рідині всередині системи; може також здійснюватися за рахунок запасу кінетичної енергії, отриманої рідиною поза розглянутою системою. Вимушена конвекція, наприклад, при русі нагрітої рідини під дією різниці тисків на кінцях труби супроводжується її охолодженням.

Таким чином, вимушена конвекція або вимушений рух робочого тіла обумовлені роботою зовнішніх агрегатів (насоса, вентилятора і т.д.). При цьому рушійна сила виникає внаслідок різниці тисків на вході й виході з каналу, по якому переміщується робоче тіло. Якщо швидкість вимушеного руху невелика і є різниця температур між окремими частками, то поряд з вимушеним рухом може спостерігатися вільний рух. Отже, у загальному випадку вимушена конвекція може протікати разом з природною (змішана конвекція).

Процес тепловіддачі визначається багатьма факторами, зокрема: видом конвекції (вільна, вимушена); режимом течії рідини (газу); фізичними властивостями середовища (r, l, з, m – динамічною в'язкістю, b – коефіцієнтом об'ємного розширення); формою, розмірами і станом тепловіддаючої (тепло приймаючої) поверхні тіла (стінки), яке обтікається середовищем.

Звичайно поверхні стінок мають форму плит або труб, які можуть розташовуватися вертикально, горизонтально або похило. Кожна з цих форм створює специфічні умови для теплообміну між поверхнею стінки і рідиною, що омиває цю поверхню. Для процесу тепловіддачі важливо, чи переміщується рідина всередині замкнутого простору чи поверхня стінки з усіх боків омивається рідиною. Велике значення має також стан поверхні стінки, оцінюваний її шорсткістю.

Для визначення кількості теплоти, переданої при конвективному теплообміні, неможливо користуватися законом тепло провідності Фур'є, тому що не вдається встановити значення температурного градієнта біля стінки і його зміну по всій поверхні теплообміну . Для практичних розрахунків широке використання знаходить рівняння тепловіддачі

і ,

де – температурний напір, а коефіцієнт пропорційності , що характеризує умови теплообміну між рідиною та поверхнею твердого тіла ‑ коефіцієнт теплообміну Це рівняння в теплотехніці називається рівнянням Ньютона,. коефіцієнт називають також коефіцієнтом тепловіддачі, Вт/(м² °С).

Чисельна величина коефіцієнта тепловіддачі визначає потужність теплового потоку, що проходить від рідини до стінки (або назад) через одиницю поверхні (1 м²) при різниці температур між рідиною і стінкою 1 °С. Він залежить від великої кількості різноманітних факторів. Це приводить до того, що при однакових умовах процесу тепловіддачі його значення коливаються в досить широких межах, наприклад:

‑ для газів при конвекції: Вт/(м² °С)

природній 6 – 40

вимушеній по трубах або між ними 12 – 120

‑ для пари в трубах перегрівника 110 – 2200

‑ для води:

при природній конвекції 110 – 1100

при русі по трубах 500 – 11 000

киплячої 2200 – 11 000

‑ для конденсованої водяної пари 4500 - 22 000

Зі зростанням в'язкості підвищується товщина приграничного шару і зменшується коефіцієнт . Зростання швидкості потоку теплоносія приводить до зменшення товщини приграничного шару і збільшення коефіцієнта тепловіддачі.

Найбільш точно коефіцієнт тепловіддачі можна визначити дослідним шляхом, що є нелегким завданням для діючих енергетичних установок. Тим паче, що закономірності, які знайдені дослідним шляхом для конкретного теплового агрегату, не завжди справедливі для іншого апарата.

Дослідне визначення коефіцієнта тепловіддачі проводять, як правило, не на самих зразках теплових пристроїв, а на їхніх спрощених моделях, більш зручних для експериментування. Результати дослідів, проведених на моделях, узагальнюють, використовуючи теорію теплової подоби.

Основний висновок, який роблять на основі цієї теорії, полягає в тому, що немає необхідності шукати залежність коефіцієнта тепловіддачі від кожного з тих факторів, які на нього впливають, а досить знайти залежність між певними безрозмірними комплексами величин, характерних для розглянутих умов процесу тепловіддачі. Ці безрозмірні комплекси величин називають критеріями подібності, які відображають фізичну сутність досліджуваного процесу або явища. Залежності між критеріями подібності характеризують процес тепловіддачі і являють критеріальні рівняння.

Як було відзначено вище, відповідно до законів Фур'є та Ньютона рівняння теплообміну на границях між твердим тілом і середовищем набуває вигляду

. (7.22)

Права частина (7.22) виражає щільність теплового потоку, перенесеного шляхом теплопровідності через теоретично нескінченно тонкий шар рідини, нерухомий відносно тіла, що обтікається.

Система рівнянь (7.22) із заданими умовами однозначності дозволяє визначити коефіцієнт тепловіддачі a, а отже, щільність теплового потоку , що надходить від тіла до потоку (або навпаки).

Виходячи із закону Ньютона для поверхневої щільності теплового потоку ( м², с), можна записати , де являє собою термічний опір теплопередачі R, (м²°С)/Вт. Коефіцієнт тепловіддачі a, що залежить від багатьох факторів, не є фізичною константою.

Важливою складовою створення і експлуатації теплотехнікнихтеплотехнічних об’єктів є теплове проектування, під яким розуміють дослідження процесів теплопереносу, вибір конструктивних рішень і режимів експлуатації з урахуванням теплового стану досліджуваних об'єктів.

У процесі теплового проектування набувають широкого використання результати теоретичних, розрахунково-теоретичних та експериментальних досліджень, тобто застосування всієї гами методів і засобів моделювання в самому широкому значенні (заміщення досліджуваного об'єкта моделлю, доведення адекватності моделі реальному об'єкта об'єкту й дослідження властивостей об'єкта за допомогою моделі): як фізичного – вивчення процесів теплопереносу на експериментальних моделях, стендах і натурних об'єктах, так і математичного – складання математичної моделі, її дослідження та одержання результатів визначення характеристик теплообміну і теплового стану об'єкта.

Математична модель процесу тепловіддачі при конвективному теплообміні містить у собі відповідні системи рівнянь і умови однозначності. Останні визначають геометричні характеристики елементів енергоустановок (або інших об’єктів ), вздовж яких рухається робоче тіло, його фізичні властивості (r, l, з, m, b), а також граничні умови.

У зв'язку із стрімким розвитком обчислювальної техніки зросли роль і можливості методів дослідження процесів конвективного теплообміну за допомогою сучасної електронно-обчислювальної техніки, вміле й ефективне використання якої визначає значне розширення кола задач, що можуть бути вирішені.