Решение. ТЕМА: Аналитическая геометрия

ТЕМА: Аналитическая геометрия

Примеры решения задач.

Пример 1. В прямоугольной декартовой системе координат заданы вершины треугольника АВС: А(4; 3), В(16; –6); С(20; 16). Найти:

1. длину стороны АВ;
2. уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты;
3. угол В треугольника (с точностью до одной минуты);
4. уравнение высоты CD и ее длину;
5. уравнение биссектрисы BN;
6. уравнение медианы АЕ и координаты точки К пересечения этой медианы с высотой CD;
7. уравнение прямой KL, проходящей через точку K параллельно прямой АВ;
8. координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно прямой CD.

Построить треугольник АВС, высоту CD, медиану АЕ, биссектрису BN и точку М.

Решение.

1. Применяя формулу для вычисления расстояния между точками (или формулу для вычисления модуля вектора) находим:

.

2. Подставляя в уравнение прямой, проходящей через две точки, координаты точек А и В, В и С, получим уравнения:

В результате преобразования этих уравнений получим соответственно:

3. Если прямые не являются взаимно перпендикулярными и ни одна из них не параллельна оси Оу, то острый угол между ними может быть определен по формуле

.

Поскольку угловые коэффициенты сторон угла В нам уже известны и угол В острый угол (см. чертеж), то подставляя в последнюю формулу и , получим

.

Угол между прямыми может быть также найден как угол между их нормальными векторами (или между направляющими векторами).

4. Из условия перпендикулярности прямых АВ и СD находим угловой коэффициент прямой CD: . Если известна точка искомой прямой и ее угловой коэффициент k, то уравнение прямой можно записать в виде . Поскольку координаты точки С нам известны, то уравнение прямой СD имеет вид:

.

Для нахождения длины высоты CD определим вначале координаты точки D – точки пересечения прямых AB и CD. Решая систему уравнений

находим . Поэтому .

Длину высоты CD можно найти по формуле, дающей расстояние от точки до прямой:

5. Вначале определим координаты точки N, принадлежащей стороне треугольника АС, и делящей эту сторону в отношении . По свойству биссектрисы угла треугольника можем записать . Вычисляем длины сторон треугольника: . Условимся проводить вычисления в этом пункте с точностью до 0,1, т.е. . Находим координаты точки N:

Запишем уравнение биссектрисы угла В как уравнение прямой, проходящей через две точки В(16; –6) и N(10,6; 8,4):

–уравнение биссектрисы угла В.

Можно рекомендовать другой путь решения этой задачи: найти орт вектора , т.е. , и орт вектора , т.е. , тогда вектор есть направляющий вектор искомой биссектрисы, проходящей через заданную точку В.

6. Определим координаты точки Е, являющейся серединой стороны ВС, по формулам деления отрезка в данном отношении при :

Согласно уравнению прямой, проходящей через две точки, уравнение медианы АЕ имеет вид:

или – общее уравнение прямой АЕ.

Точка пересечения медианы АЕ и высоты CD определяется в результате решения системы уравнений

7. Ввиду параллельности прямых KL и AB, . Подставляя координаты точки К и в уравнение прямой, проходящей через заданную точку, с известным угловым коэффициентом, получим

– общее уравнение прямой KL.

8. Прямая АВ перпендикулярна прямой CD; поэтому точка М лежит на прямой АВ. Кроме того, точка D является серединой отрезка АМ. Применяя формулы деления отрезка в данном отношении, находим координаты точки М:

Выполним чертеж:

Пример 2.Привести уравнение линии второго порядка к каноническому виду; построить данную линию (на чертеже указать «старую» и «новую» системы координат).

Решение. Перепишем уравнение в виде

.

Проведем в скобках «дополнение до полного квадрата» и выполним очевидные преобразования:

,

,

,

.

Введем «новые» координаты . Последнее уравнение в «новых» координатах примет вид:

.

Это есть каноническое уравнение эллипса с полуосями

Пример 3. В прямоугольной декартовой системе координат заданы четыре точки . Требуется:

1. составить общее уравнение плоскости Q, проходящей через точки А, В, С;
2. составить канонические уравнения прямой линии, проходящей через точку М перпендикулярно плоскости Q и найти координаты точки N пересечения этой прямой с плоскостью Q;
3. найти расстояние от точки М до плоскости Q;
4. составить канонические уравнения прямых АВ и АМ и найти угол между этими прямыми;
5. найти угол между прямой АМ и плоскостью Q;
6. найти площадь треугольника АВС;
7. найти объем пирамиды АВСМ.