Решение. В результате вычисления определителя имеем

1. Подставляя в уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, координаты точек А, В, С получим

.

В результате вычисления определителя имеем

.

Искомое уравнение плоскости Q:

.

Уравнение плоскости Q можно найти используя другие формулы, например: уравнение плоскости, проходящей через точку, ортогонально вектору (здесь в качестве заданной точки взять любую из трех заданных точек, скажем точку А, и нормальный вектор плоскости Q определить как векторное произведение векторов и ).

2. В качестве направляющего вектора искомой прямой возьмем нормальный вектор плоскости Q. Подставив в канонические уравнения прямой координаты точки М и координаты направляющего вектора (2, –1, –2), получим уравнения прямой MN:

.

Найдем точку N. Используем параметрические уравнения прямой MN

Подставляя эти выражения в уравнение плоскости Q, получим значение параметра t:

.

Подставив в параметрические уравнения прямой MN , находим координаты точки N пересечения этой прямой с плоскостью Q: .

3. Используя формулу для нахождения расстояния от точки до плоскости, находим:

.

Это расстояние можно найти и как расстояние между двумя точками: М и N.

4. Запишем уравнение прямой АВ как уравнение прямой, проходящей через две точки

канонические уравнения прямой АВ: .

Аналогично получаем канонические уравнения прямой АМ: .

Угол между прямыми АВ и АМ найдем как угол между их направляющими векторами:

,

поскольку , то мы находим острый угол между этими прямыми: (с точностью до минуты).

5. В формулу для вычисления синуса угла между прямой и плоскостью подставляем координаты нормального вектора плоскости и направляющего вектора прямой, получим:

(с точностью до одной минуты).

6. Поскольку площадь параллелограмма, построенного на векторах и , численно равна модулю векторного произведения этих векторов, то площадь треугольника АВС найдем как

.

.

Следовательно, кв.ед.

7.) , здесь смешанное произведение трех векторов.

Следовательно, куб.ед.

Конечно, в данном случае можно найти объем пирамиды и так: , т.е.