Примеры выполнения заданий типового расчета

Задание 1.Даны координаты точек , и вектор . Составить: а) канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору ; б) общие уравнения прямой, проходящей через точки и .

Решение.

а) Для составления требуемых уравнений достаточно воспользоваться формулой (3), учитывая, что , получим канонические уравнения прямой:

(11)

Пользуясь формулой (2), запишем параметрические уравнения рассматриваемой прямой:

(12)

б) Канонические уравнения прямой, проходящей через две заданные точки можно записать, воспользовавшись формулой (4). Подставив исходные данные в эту формулу, получим:

(13)

Выполним в уравнениях (13) необходимые вычисления и преобразуем систему уравнений согласно формуле (4а):

(14)

После алгебраических преобразований уравнений системы (14), получим требуемые общие уравнения прямой, проходящей через точки и :

(15)

Задание 2.Прямая в пространстве задана общими уравнениями: Найти направляющие косинусы прямой и записать ее канонические и параметрические уравнения.

Решение.

Вычислим сначала координаты направляющего вектора прямой. Поскольку рассматриваемая прямая, принадлежит каждой из плоскостей и , то ее направляющий вектор будет перпендикулярен нормальным векторам этих плоскостей, значит, его можно найти, вычислив векторной произведение векторов и :

(16)

Для определения направляющих косинусов вектора , вычислим его модуль: . Получаем значения направляющих косинусов прямой:

Для того, чтобы записать канонические и параметрические уравнения прямой, необходимо знать координаты некоторой точки, принадлежащей прямой, и координаты направляющего вектора этой прямой. Поскольку координаты направляющего вектора прямой вычислены выше ( ), найдем координаты какой-либо точки, лежащей на прямой. Выберем произвольное значение координаты , например, , и подставим это значение в данные общие уравнения прямой, получим систему уравнений: Решая полученную систему уравнений, найдем: Значит, в качестве точки, через которую проходит прямая, можно взять . Воспользуемся формулой (3) и запишем канонические уравнения прямой:

(17)

Аналогичным образом, подставляя исходные данные в формулу (4), получим параметрические уравнения рассматриваемой прямой:

(18)

Задание 3.Выбрать из имеющегося списка прямых пары: а) параллельных (в том числе и совпадающих) прямых; б) скрещивающихся прямых (для каждой пары вычислить угол между прямыми); в) пересекающихся прямых (для каждой пары найти точку пересечения). Прямые заданы уравнениями:

Решение.

Для определения взаимного расположения прямых, необходимо найти координаты направляющих векторов для этих прямых.

Для прямых, заданных каноническими или параметрическими уравнениями, координаты направляющих векторов легко определить непосредственно из их уравнений, а именно: – направляющий вектор прямой ; – направляющий вектор прямой ; – направляющий вектор прямой .

Направляющие векторы прямых, заданных общими уравнениями, вычисляются способом, описанным выше (см. решение задания 2 часть б)): – направляющий вектор прямой ; – направляющий вектор прямой .

Далее для каждой прямой необходимо найти координаты какой-либо точки, ей принадлежащей.

Для прямых, заданными каноническими или параметрическими уравнениями это не составляет труда, поскольку координаты нужной точки указаны непосредственно в уравнениях. Таким образом, – координаты точки, принадлежащей прямой ; – координаты точки, принадлежащей прямой ; – координаты точки, принадлежащей прямой .

Вычислим координаты некоторой точки, принадлежащей прямой . Для этого положим , и, подставив это значение в систему уравнений, задающую прямую , получим: Решаем систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными и находим: . Получили – координаты точки, принадлежащей прямой . Аналогичным образом, находим – координаты точки, принадлежащей прямой .

Для каждой пары прямых составим матрицу:

,

(19)

где и – координаты некоторых точек, принадлежащих прямым, и суть направляющие векторы рассматриваемых прямых соответственно, и определим их взаимное расположение, пользуясь утверждением 2.

Рассмотрим прямые и . Составим для этих прямых матрицу вида (19) и вычислим ее определитель:

(20)

Равенство нулю определителя (20) означает, что прямые и лежат в одной плоскости. Поскольку в процессе вычислений была обнаружена точка , принадлежащая каждой из рассматриваемых прямых, то, очевидно, что прямые пересекаются (это понятно, поскольку совпадать прямые не могут в силу неколлинеарности их направляющих векторов).

Рассмотрим прямые и . Составим для этих прямых матрицу вида (19) и вычислим ее определитель:

(21)

Равенство нулю определителя (21) означает, что прямые и лежат в одной плоскости. Однако, вторая и третья строки матрицы пропорциональны, значит, согласно утверждению 2, прямые параллельны.

Рассмотрим прямые и . Составим для этих прямых матрицу вида (19) и вычислим ее определитель:

(22)

Неравенство нулю определителя (22) означает, что прямые и не лежат в одной плоскости. Параллельность прямых невозможна, следовательно, они скрещиваются. Вычислим угол между прямыми, пользуясь формулой (6):

(23)

Значит, прямые и образуют угол, равный .

Рассматривая аналогичным образом оставшиеся пары прямых, получаем, что все остальные пары прямых скрещиваются под различными углами.