Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Примеры выполнения заданий типового расчета

Читайте также:
  1. I. ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ВЫПОЛНЕНИЯ ВЫПУСКНОЙ КВАЛИФИКАЦИОННОЙ (ДИПЛОМНОЙ) РАБОТЫ
  2. II. 1. Методические указания к выполнению контрольных заданий
  3. II. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ ДИПЛОМНОГО ПРОЕКТА
  4. II. Порядок расчета цены ориентированной на конкурентные условия.
  5. II.Задание для самостоятельного выполнения.
  6. III. Задание для самостоятельного выполнения.
  7. III. Задание для самостоятельного выполнения.
  8. III.Определение перерасчета индексация и корректировка размера пенсии.
  9. IV. Задание для выполнения
  10. Lt;227,8<250 , следовательно, грубой ошибки в расчетах допущено не было

Задание 1.Даны координаты точек , и вектор . Составить: а) канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору ; б) общие уравнения прямой, проходящей через точки и .

Решение.

а) Для составления требуемых уравнений достаточно воспользоваться формулой (3), учитывая, что , получим канонические уравнения прямой:

(11)

Пользуясь формулой (2), запишем параметрические уравнения рассматриваемой прямой:

(12)

б) Канонические уравнения прямой, проходящей через две заданные точки можно записать, воспользовавшись формулой (4). Подставив исходные данные в эту формулу, получим:

(13)

Выполним в уравнениях (13) необходимые вычисления и преобразуем систему уравнений согласно формуле (4а):

(14)

После алгебраических преобразований уравнений системы (14), получим требуемые общие уравнения прямой, проходящей через точки и :

(15)

Задание 2.Прямая в пространстве задана общими уравнениями: Найти направляющие косинусы прямой и записать ее канонические и параметрические уравнения.

Решение.

Вычислим сначала координаты направляющего вектора прямой. Поскольку рассматриваемая прямая, принадлежит каждой из плоскостей и , то ее направляющий вектор будет перпендикулярен нормальным векторам этих плоскостей, значит, его можно найти, вычислив векторной произведение векторов и :

(16)

Для определения направляющих косинусов вектора , вычислим его модуль: . Получаем значения направляющих косинусов прямой:

Для того, чтобы записать канонические и параметрические уравнения прямой, необходимо знать координаты некоторой точки, принадлежащей прямой, и координаты направляющего вектора этой прямой. Поскольку координаты направляющего вектора прямой вычислены выше ( ), найдем координаты какой-либо точки, лежащей на прямой. Выберем произвольное значение координаты , например, , и подставим это значение в данные общие уравнения прямой, получим систему уравнений: Решая полученную систему уравнений, найдем: Значит, в качестве точки, через которую проходит прямая, можно взять . Воспользуемся формулой (3) и запишем канонические уравнения прямой:

(17)

Аналогичным образом, подставляя исходные данные в формулу (4), получим параметрические уравнения рассматриваемой прямой:



(18)

Задание 3.Выбрать из имеющегося списка прямых пары: а) параллельных (в том числе и совпадающих) прямых; б) скрещивающихся прямых (для каждой пары вычислить угол между прямыми); в) пересекающихся прямых (для каждой пары найти точку пересечения). Прямые заданы уравнениями:

Решение.

Для определения взаимного расположения прямых, необходимо найти координаты направляющих векторов для этих прямых.

Для прямых, заданных каноническими или параметрическими уравнениями, координаты направляющих векторов легко определить непосредственно из их уравнений, а именно: – направляющий вектор прямой ; – направляющий вектор прямой ; – направляющий вектор прямой .

Направляющие векторы прямых, заданных общими уравнениями, вычисляются способом, описанным выше (см. решение задания 2 часть б)): – направляющий вектор прямой ; – направляющий вектор прямой .

Далее для каждой прямой необходимо найти координаты какой-либо точки, ей принадлежащей.

Для прямых, заданными каноническими или параметрическими уравнениями это не составляет труда, поскольку координаты нужной точки указаны непосредственно в уравнениях. Таким образом, – координаты точки, принадлежащей прямой ; – координаты точки, принадлежащей прямой ; – координаты точки, принадлежащей прямой .



Вычислим координаты некоторой точки, принадлежащей прямой . Для этого положим , и, подставив это значение в систему уравнений, задающую прямую , получим: Решаем систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными и находим: . Получили – координаты точки, принадлежащей прямой . Аналогичным образом, находим – координаты точки, принадлежащей прямой .

Для каждой пары прямых составим матрицу:

, (19)

где и – координаты некоторых точек, принадлежащих прямым, и суть направляющие векторы рассматриваемых прямых соответственно, и определим их взаимное расположение, пользуясь утверждением 2.

Рассмотрим прямые и . Составим для этих прямых матрицу вида (19) и вычислим ее определитель:

(20)

Равенство нулю определителя (20) означает, что прямые и лежат в одной плоскости. Поскольку в процессе вычислений была обнаружена точка , принадлежащая каждой из рассматриваемых прямых, то, очевидно, что прямые пересекаются (это понятно, поскольку совпадать прямые не могут в силу неколлинеарности их направляющих векторов).

Рассмотрим прямые и . Составим для этих прямых матрицу вида (19) и вычислим ее определитель:

(21)

Равенство нулю определителя (21) означает, что прямые и лежат в одной плоскости. Однако, вторая и третья строки матрицы пропорциональны, значит, согласно утверждению 2, прямые параллельны.

Рассмотрим прямые и . Составим для этих прямых матрицу вида (19) и вычислим ее определитель:

(22)

Неравенство нулю определителя (22) означает, что прямые и не лежат в одной плоскости. Параллельность прямых невозможна, следовательно, они скрещиваются. Вычислим угол между прямыми, пользуясь формулой (6):

(23)

Значит, прямые и образуют угол, равный .

Рассматривая аналогичным образом оставшиеся пары прямых, получаем, что все остальные пары прямых скрещиваются под различными углами.


Дата добавления: 2015-08-05; просмотров: 8; Нарушение авторских прав


<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
СПОСОБЫ УДАЛЕНИЯ СЛОМАННЫХ МЕТЧИКОВ | Дополнительное творческое задание
lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2019 год. (0.01 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты