Размерности обеих частей равенства должны быть одинаковы.

В таком виде эта теорема получила название правила размерностей. В равенство типа A=B могут входить также в качестве множителей либо постоянные коэффициенты, либо безразмерные комбинации физических величин.

Пример 2.1.Необходимо найти вид зависимости для объема шара.

Шар полностью определяется заданием его радиуса, поэтому объем его W равен W=f(R), где f(R)- функция, подлежащая определению. Так как R измеряется, например, в метрах (м), а W в кубических метрах (м³), то задача сводится к нахождению математической операции «превращающей» метры линейные в метры кубические. Ясно, что существует одна операция такого рода- возведение в третью степень. Заключаем, что искомая зависимость имеет вид W=CR³, где C- некоторое число, не зависящее от R (постоянный безразмерный коэффициент). В этом примере впервые вводится постоянный безразмерный коэффициент С; везде в дальнейшем необходимо помнить, что он может быть функцией некоторых параметров и даже первичных величин. Единственное, что можно утверждать заранее – что С является всегда безразмерной величиной и в виде сомножителя не нарушает размерности правой части. Если C не зависит от R, то достаточно лишь для одного шара любого радиуса найти отношение W/R³ (каким-либо измерением), которое будет равно ≈ π ≈ 4,189. В дальнейшем можно будет определить объем шара с помощью зависимости W=4,19R³.

Теория размерностей без привлечения дополнительных данных не может привести ни к каким физическим зависимостям, поскольку в ее основы не заложено никаких физических законов. Для того, чтобы получить с помощью этой теории конкретные выводы, необходимо установить,между какими физическими величинами существуют количественные связи.На этот вопрос теория размерности не может дать никакого ответа. Это можно сделать только либо опытным путем, либо с помощью каких-то физических законов. Приведенные ниже примеры и задачи служат иллюстрацией сказанного. Вначале для лучшего понимания метода анализа размерностей приводятся простые примеры из механики.

Пример 2.2.Тело начинает движение из состояния покоя и движется с постоянным ускорением a. Найти вид зависимости для пути, проходимого телом.

Путь, проходимый телом, прежде всего, конечно, является функцией времени. Кроме того, он будет зависеть от ускорения, которое задано. Если включить в число параметров массу тела m, то необходимо учесть соотношение F = ma и таким образом включить в рассмотрение также и силу, действующую на данное тело. Возможно допустить воздействие на тело любых сил (сил сопротивления разной природы, движущих сил – внешних и внутренних и т.д.), но при заданной массе m их отношение и будет выражать ускорение.

Таким образом, при заданном ускорении формулировка задачи не выводит ее из класса кинематических задач; окончательный вид функциональной зависимости для пути

S = f (a,t)

и функция f (a,t) должна иметь размерность длины, т.е.

[S (a,t)] = [S] = L.

Согласно первой теореме функция f(a,t) является степенной относительно своих аргументов, т.е. имеет вид

= ,

где C, - некоторые постоянные. Таким образом, искомая функция имеет вид

S=Ca ,

причем и такие, что выполняется условие

L=[a t ]. (2.1)

Обычно следующим шагом является выражение всех входящих в правую часть (2.1) величин через основные; в данном случае это необходимо сделать для ускорения a:[a]=L/t ²=Lt ^–2. Тогда из (2.1) следует

L=(Lt ^–2) t .

Раскроем в последнем равенстве скобки

L=L t t

и заметим, что в правой части последнего равенства присутствует время t, а в левой части его нет. Поэтому в левой части представляем сомножитель t⁰ (он равен единице) который ничего не меняет:

L¹t⁰=L t .

Совершенно ясно, что если какая-либо величина находится одновременно в правой и левой части равенства типа (2.1), то показатель степени ее в левой части равен показателю степени в правой части. Например, при применении этого правила к последнему равенству будем иметь:

для показателей степеней у L

1=

для показателей степеней у t

0= .

Величины и находим из системы уравнений

=1

=0.

Показатели степеней равны =1, =2.