Диаграммы Минковского.

Пусть имеются две ИСО: система и система, движущаяся относительно нештрихованной с постоянной скоростью , при чем так, что в момент времени координатные оси этих систем совпадают. Чтобы сделать рассмотрение наглядным снова воспользуемся для построения диаграмм пространства-времени сечением четырехмерного пространства в плоскости ( , , ). По оси абсцисс диаграммы традиционно откладываем значения пространственной координаты, а по оси ординат – величину , где – скорость света. Обе оси проградуируем в метрах, причем в одном и том же масштабе.

Начнем с построения диаграммы для системы.

Каждая точка диаграммы характеризует некоторое событие и называется мировой точкой. Всякой частице, даже неподвижной, на этой диаграмме соответствует мировая линия. Например, ось - это мировая линия частицы, покоящейся в точке . Ось изображает совокупность всех событий, одновременных с событием .

Мировая линия, соответствующая распространению света из точки в положительном направлении оси , представляет собой биссектрису прямого угла.

Теперь изобразим на этой диаграмме оси и системы отсчета.

Мировую линию начала отсчета системы получим, положив в преобразованиях Лоренца .

.

Тогда

, (6.13)

где , как обычно.

Уравнение (6.13) есть уравнение прямой, которая составляет с осью угол , определяемый из условия .

Полученная прямая – мировая линия – представляет собой совокупность всех событий, происходящих в начале отсчета системы, т.е. ось .

Ось системы – это прямая, изображающая все события, одновременные в системе с событием . Положив в преобразованиях Лоренца

, получим

, или . (6.14)

Отсюда следует, что ось составляет с осью тот же угол ( ), что и между осями и .

Таким образом, оси и системы расположены симметрично по отношению к мировой линии света , и координатная сетка системы ( , ) оказывается косоугольной. Чем больше скорость системы, тем более «сплющенной» будет её координатная сетка, а при она вырождается в мировую линию света.

И последнее, что необходимо сделать на диаграмме, - это проградуировать оси , и , обеих систем отсчета. Проще всего это сделать, воспользовавшись инвариантностью интервала:

.

Отметим на оси системы точку, соответствующую единице времени в системе ( ). Проведем через эту точку гиперболу

,

все точки которой отвечают инвариантному интервалу (при и ). Её асимптотой является мировая линия света.

Точка пересечения этой гиперболой оси соответствует единице времени в системе. Действительно,

, и при .

Аналогично градуируются оси и : возьмем в системе точку , и проведем через неё гиперболу . Тогда точка пересечения её с осью , где , дает единицу длины ( ) в системе (т.к. и , то ).

Построенная таким образом диаграмма – диаграмма Минковского – соответствует переходу от к системе отсчета и отвечает преобразованиям Лоренца. В согласии с принципом относительности для обратного перехода от к системе диаграмма будет иметь совершенно симметричный вид: у системы координатная сетка будет прямоугольной, а у системы – косоугольной.

Диаграмма Минковского позволяет просто и наглядно интерпретировать такие релятивистские эффекты, как относительность понятия одновременности замедление времени и лоренцево сокращение.

Относительность понятия одновременностиследует непосредственно из рисунка.

Действительно события и , одновременные в системе, в системе оказываются неодновременными. Событие произойдет позже события на время .

Замедление времени.

Рассмотрим часы и , которые показывали одинаковое время в момент, когда они находились в одной точке пространства ( . Предполагается, что часы неподвижны в системе, а часы – в системе отсчета.

Пусть по часам прошла единица времени ( ); это отвечает событию на диаграмме.

Проведем через точку гиперболу и прямую , характеризующую все события, одновременные в системе с событием . Пересечение оси (мировой линии часов ) с гиперболой

дает точку ( , а с прямой – точку ( . Это значит, что в системе в момент, когда по часам уже прошла единица времени, по движущимся часам единица времени ещё не прошла, т.е. часы идут замедленно.

С помощью этой же диаграммы убедимся, что эффект замедления времени является обратимым. Проведем прямую , параллельную оси , которая характеризует все события, одновременные в системе с событием ( .

Точка пересечения прямой с мировой линией часов системы (осью ) показывает, что т.е., в самом деле, по отношению к системе замедленно идущими оказываются теперь часы системы.

Лоренцево сокращение.

Пусть метровый стержень покоится в системе (отрезок ). Мировые линии его концов – это прямые и .

Чтобы измерить длину этого стержня в системе, надо зафиксировать координаты его концов одновременно в этой системе. Но в системе одновременным с событием или (фиксированием левого конца стержня) является событие – точка пересечения мировой линии правого конца стержня с линией одновременности . Из диаграммы видно, что в системе , т.е. движущийся относительно системы стержень будет короче одного метра.

Так же просто можно показать, что и лоренцево сокращение является обратимым. Если метровый стержень покоится в системе (отрезок ), то, проведя мировые линии его концов в этой системе (О и ), увидим, что в системе при одновременном измерении его концов отрезок , т.е. по отношению к системе лоренцево сокращение будет испытывать стержень.

6.5. Парадокс близнецов.

С Земли вылетела ракета, на которой летний Петр отправился в космическое путешествие к звезде Арктур. Для жителей Земли, среди которых близнец Петра Павел, расстояние до звезды Арктур составляет

световых лет. Корабль, на котором находится Петр,

летит со скоростью .

Сколько лет будет близнецам Павлу и Петру,

когда Петр, закончив своё путешествие, вернется

обратно на Землю?

С точки зрения оставшегося на Земле Павла путешествие займет на больше времени, чем потребуется свету, чтобы достичь звезды и вернутся обратно ( лет). Поэтому, когда Петр вернется из путешествия, возраст Павла будет равен лет. В то же время для Павла часы в ракете идут медленнее в раза, и всё путешествие для Петра займет года. Т.о., к концу путешествия Петр будет в возрасте года, т.е. на года моложе своего брата-близнеца, оставшегося на Земле.

Космический путешественник Петр, наблюдая время по корабельным часам, аналогичным оставшимся на Земле, не чувствует, что оно течет медленнее. Однако для Петра, движущегося с субсветовой скоростью, расстояние от Земли до звезды Арктур укорочено, благодаря лоренцеву сокращению, и составляет световых лет. Поэтому всё путешествие с точки зрения Петра займет года, что согласуется с расчетами оставшихся на Земле наблюдателей.

Т.о., возникает видимое противоречие, т.к. с точки зрения космонавта Петра земные часы должны идти медленнее, чем корабельные. Поэтому, казалось бы, задача должна быть симметричной, и братья должны остаться в одинаковом возрасте.

Но парадокс устраняется, если учесть, что в действительности задача асимметрична. Близнец Павел, оставшийся на Земле, всё время находится в одной инерциальной системе отсчета, в то время как его брат космонавт Петр переходит из одной инерциальной системы отсчета в другую, что и позволяет ему “стареть медленнее”.

Эту же задачу можно проиллюстрировать, используя диаграммы Минковского.

С Земли (точка с координатой ) вылетела

ракета, движущаяся со скоростью . Свяжем

систему отсчета с Землей, где остался Павел, а с

ракетой, движущейся с постоянной скоростью в

направлении оси , может быть связана система,

причем её оси составляют с осями прямоугольной

системы угол, тангенс которого равен .

Тогда ось мировая линия Петра при удалении

ракеты от Земли, событие прибытие Петра на

Арктур, а отрезок время путешествия от Земли

до звезды, измеренное по часам в космическом

корабле, которое составляет года. По земным часам, которые движутся относительно корабля с той же

скоростью , с точки зрения Петра пройдет всего года. На диаграмме этот промежуток времени соответствует отрезку , отсекаемому линией одновременности системы на оси (мировой линии Павла).

Возвращающегося Петра сопровождает другая цепочка синхронизированных часов ( система), которые на участке – мировая линия возвращения Петра на Землю ( ) – снова покажут время года. На Земле, с точки зрения Петра, снова пройдет года – отрезок , отсекаемый линией одновременности отбытия Петра из системы звезды Арктур, и моментом прибытия на Землю.

Отрезок остался “неучтенным” и именно он определяет время, “сэкономленное” Петром при переходах в другие инерциальные системы отсчета, измеренное по земным часам и равное года.

6.6. – векторы

Определение: Четырехмерным вектором называется совокупность четырех величин , которые при преобразовании четырехмерной системы координат преобразуются как компоненты – радиус-вектора (индекс пробегает значения 0, 1, 2, 3).

При преобразовании Лоренца:

; ; ; . (6.13)

Квадрат «длины» – вектора определяется как

. (6.14)

Для удобства записи подобных выражений вводят два «сорта» компонент – векторов с верхними и нижними индексами, обозначая их буквами и . При этом

, , , . (6.15)

Вектор с компонентами называют контравариантным вектором, а вектор с компонентами - ковариантным вектором.

Закон преобразования – вектора, выраженного через ковариантные компоненты, в знаках отличается от того же закона при использовании контравариантных компонент (6.13):

; ; ; . (6.16)

Квадрат -вектора записывают теперь таким образом:

. (6.17)

Для упрощения записи такие суммы принято записывать просто как , предполагая суммирование по всякому индексу, повторяющемуся в данном выражении (в каждой паре одинаковых индексов один должен стоять наверху, а другой – внизу).

Аналогично квадрату – вектора составляется скалярное произведение двух разных – векторов:

. (6.18)

Вообще во всякой паре всегда можно переставлять верхние и нижние индексы, и результат от этого не меняется

. (6.19)

Произведение (или ) является – скаляром – оно инвариантно по отношению к поворотам четырехмерной системы координат.

По аналогии с – радиус-вектором компоненту – вектора называют временной , а компоненты - пространственными. Квадрат – вектора может быть положительным, отрицательным и равным нулю (по аналогии с терминологией для интервалов, соответственно, времениподобный, пространственноподобный и нулевой – векторы).

По отношению к чисто пространственным поворотам (преобразованиям, не затрагивающим оси времени) три пространственные компоненты – вектора составляют трехмерный вектор . Временная компонента – вектора по отношению к тем же преобразованиям представляет собой трехмерный скаляр.

Перечисляя компоненты – вектора, часто их контравариантные компоненты записывают как

. (6.20)

При этом ковариантные компоненты того же – вектора записывают в виде

. (6.21)

а квадрат – вектора:

. (6.22)

Для радиус-вектора:

, , . (6.23)

У трехмерных пространственных векторов нет необходимости различать контра- и ковариантные компоненты. Поэтому, если это не может привести к недоразумениям, везде записывают их компоненты с индексами внизу. В частности, по повторяющимся индексам подразумевается суммирование по трем значениям , например, .

Примечание: иногда в литературе вводят другие компоненты: ,

тогда квадрат интервала записывается как

.

Геометрическая иллюстрация – радиуса-вектора.

1. Мировая линия частицы покоящейся в точке 2. Мировая линия равномерно движущейся частицы

.

3. Пусть мировые точки и характеризуют

события и . Расстояние между

событиями есть интервал, определяемый с помощью

псевдопифагоровой теоремы: