Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника


Кинематика точки




КИНЕМАТИКА

Кинематика точки

 

 

Определить движение точки - это значит уметь определить положение точки по отношению к выбранной системе отсчета в любой момент времени.

В кинематике применяются три способа задания движения точки: векторный, координатный и естественный.

При векторном способе определения движения точки радиус-вектор движущейся точки М (рис. 21), проведенный из выбранного неподвижного центра О, выражается как векторная функция от времени, т. е.

 

Рис. 21

Скорость точки, характеризующая быстроту и направление движения точки, равна производной по времени от ее радиуса-вектора:

 

 

Ускорение точки, характеризующее изменение скорости по модулю и направлению, равно производной по времени от вектора скорости:

 

 

Координатный способ определения (задания) движения точки состоит в том, что координаты движущейся точки в выбранной системе координат выражаются как функции времени t.

Уравнения движения точки в декартовых координатах имеют вид

 

x = x(t), y = y (t), z = z (t).

 

Если точка движется в плоскости Оху, то будем иметь только два уравнения движения:

 

x = x(t), y = y (t).

 

Для того чтобы найти траекторию точки, достаточно из уравнений движения исключить время t. Вектор скорости и вектор ускорения определяются по их проекциям на оси декартовых координат, причем

 

Отсюда получаем формулы разложения векторов скорости и ускорения по координатным осям:

 

 

 

Модули векторов скорости и ускорения вычисляем по формулам

 

 

 

При естественном способе движение точки задается ее траекторией и уравнением движения по этой траектории:

 

 

где О - начало отсчета дуг на траектории; s - дуговая координата точки М или взятая с соответствующим знаком длина дуги, отсчитываемая вдоль траектории от начала отсчета до точки М (рис. 22).

 

 

Рис. 22

Если заданы траектория движущейся точки и закон ее движения по этой траектории s = s (t), то вектор скорости направлен по касательной к этой траектории, а его проекция на направление касательной определяется по формуле

 

причем абсолютное значение этой проекции равно модулю скорости:

 

 

Вектор ускорения определяется по его проекциям на естественные оси (касательную, главную нормаль и бинормаль):

 

 

где r - радиус кривизны траектории в данной точке.

Следовательно,

 

Отметим частные случаи:

1. Если точка движется прямолинейно и неравномерно, то радиус кривизны траектории r ® µ и, следовательно, аn = 0. В этом случае ускорение направлено вдоль траектории точки и по модулю равно

 

 

2. Если точка движется по криволинейной траектории равномерно, то

 

V = const и

 

и поэтому ускорение направлено по нормали к траектории и по модулю равно

 

 

3. Если точка движется прямолинейно и равномерно, то an = 0, at = 0 и a = 0.

В том случае, когда движение точки задано в координатной форме, касательное ускорение определяется по формуле

 

, или

 

После этого нормальное ускорение можно найти из равенства

 

 

где

Определив , найдем радиус кривизны по формуле

 

 

Если плоская траектория задана уравнением у = у(х), то радиус кривизны траектории вычисляется по формуле

 

 

где и

 

Пример K1. Даны уравнения движения точки в плоскости ху:

 

x = 6×cos (p×t/6) – 3, y = – 4×cos2 (p×t/6)

 

(х, у - в метрах, t - в секундах).

Определить уравнение траектории точки. Для момента времени t1 = 1 с найти скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Решение. Для определения траектории исключим из заданных уравнений движения время t, воспользовавшись подстановкой:

 

 

 

Из полученного выражения следует, что траекторией движения точки является парабола с нисходящими ветвями и осью, параллельной оси у; вершина параболы находится в точке с координатами х = -3 м, у = 0.

Найдем проекции вектора скорости на оси координат:

 

 

 

Подставив t1 = 1 с в полученные выражения, находим

 

 

Скорость точки в момент времени t1 = 1 с

 

 

Найдем проекции вектора ускорения:

 

 

 

Для момента времени t1 = 1 с

 

 

м/с2.

 

Касательное ускорение найдем по формуле

 

м/с2.

 

Нормальное ускорение

 

м/с2.

 

Вычислим радиус кривизны траектории в том месте, где находится точка в момент времени t1 = 1 с:

 

м.

 

 

 

Рис. K1

 

Пользуясь уравнением траектории, вычерчиваем параболу (рис. K1) и показываем на ней точку М в заданный момент времени по ее координатам. Вектор скорости строим по составляющим и ; он должен быть направлен по касательной к траектории. Вектор ускорения находим по его составляющим и . Далее найденный вектор раскладываем на направления касательной и нормали и получаем векторы касательного и нормального ускорений. Полученные таким образом значения и должны совпасть с результатами их подсчета по формулам.

 


Поделиться:

Дата добавления: 2015-08-05; просмотров: 155; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав





lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2024 год. (0.006 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты