Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Уравнения с разделяющимися переменными.

Читайте также:
  1. Алгоритм решения биквадратного уравнения.
  2. Асинхронный двигатель. Т-и Г-образная схема замещения. Основные уравнения двигателя в рабочем режиме.
  3. Балансовое уравнения, это
  4. Билет 19. Построение линейного дифференциального уравнения n-го порядка по заданной системе решений. Формула Остроградского — Лиувилля.
  5. Билет 40. Линейные однородные уравнения в частных производных первого порядка. Связь решения с первым интегралом. Общее решение.
  6. Билет №11. Проверка выполнения уравнения теплового баланса
  7. В процессе решения уравнения методом простой итерации приближение к корню может осуществляться
  8. Внешние и внутренние силы, свойства внутренних сил. Дифференциальные уравнения движения СМТ
  9. Вопрос №12. Уравнение молотильного аппарата акад. В.П. Горячкина. Следствия из уравнения. Основные регулировки молотильных аппаратов.
  10. Вывод основного уравнения гидростатики.

Дифференциальные уравнения.

Основные понятия о дифференциальных уравнениях.

Дифференциальным уравнением называется алгебраическое равенство, связывающее независимую переменную х, искомую функцию y = ¦(x) и её производные. Если искомая функция является функцией одной переменной х, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Порядок старшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком данного дифференциального уравнения.

Общий вид дифференциального уравнения n-порядка следующий:

F(х, у, у¢…. у(n)) = 0 (1)

Всякая функция у =¦(x), подставленная в уравнение (1), и обращающая его в верное равенство, называется решением данного дифференциального уравнения.

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет следующий общий вид:

F(x, y, y¢) = 0 (2)

Если его можно разрешить относительно у¢, то

у¢ = ¦(x, y) (3)

Решение уравнения (3), которое содержит произвольную постоянную С, то есть имеющее вид:

y = j(х, С) (4)

называется общим решением данного дифференциального уравнения. Если это решение имеет вид:

 

f(х, у, С) = 0 или y(х, у) = С (5),

 

то в этом случае выражение (5) называется общим интегралом уравнения (3). Решить или проинтегрировать дифференциальное уравнение (3) – значит найти его общее решение в виде (4) или общий интеграл в виде (5).

 

Уравнения с разделяющимися переменными.

Запишем уравнение у¢ = ¦(x, y) в виде:

 

dy/dx = ¦(x, y),

 

dy = ¦(x, y)dx

Данному уравнению можно придать следующую форму:

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 (6)

Предположим, что функции M(x, y) и N(x, y) можно представить следующим образом:

M(x, y) = M1(x)´ M2(y)

N(x, y) = N1(x)´ N2(y)

Тогда уравнение (6) можно переписать в виде:

M1(x)´ M2(y)dx + N1(x)´ N2(y)dy = 0 (7)

Разделим данное уравнение на M2(y) N1(x), получим

M1(x)/N1(x)dx + M2(y)/N2(y)dy = 0 (8)

Уравнение (7) называется уравнением с разделяющимися переменными, а уравнение (8) – уравнением с разделенными переменными. Чтобы окончательно решить уравнение (8) перепишем его в следующем виде:



M2(y)/N2(y)dy = -M1(x)/N1(x)dx (9)

Переменные разделились относительно знака равенства: слева от знака равенства алгебраическое выражение зависящее только от у, справа от знака равенства алгебраическое выражение зависящее только от х. Проинтегрируем обе части уравнения (9):

òM2(y)/N2(y)dy = -òM1(x)/N1(x)dx +C (10)

Данное решение (10) есть общее решение уравнения (7)

Частным решением уравнения (3) называется функция j(х,С0), которая получается из общего решения у = j(х,С) при определенном значении константы С = С0, которое определяется из начальных условий у0 = j(х0,С). Геометрически общее решение у = j(х,С) представляет собой семейство интегральных кривых на плоскости Оху, а частное решение у = j(х,С0) – одну интегральную кривую, проходящую через заданную точку (х0, у0).


Дата добавления: 2015-08-05; просмотров: 6; Нарушение авторских прав


<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Блискавкозахист будівель та споруд | уравнений методом разделения переменных.
lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2019 год. (0.008 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты