КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Уравнения с разделяющимися переменными.Стр 1 из 2Следующая ⇒ Дифференциальные уравнения. Основные понятия о дифференциальных уравнениях. Дифференциальным уравнением называется алгебраическое равенство, связывающее независимую переменную х, искомую функцию y = ¦(x) и её производные. Если искомая функция является функцией одной переменной х, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Порядок старшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком данного дифференциального уравнения. Общий вид дифференциального уравнения n-порядка следующий: F(х, у, у¢…. у(n)) = 0 (1) Всякая функция у =¦(x), подставленная в уравнение (1), и обращающая его в верное равенство, называется решением данного дифференциального уравнения. Дифференциальное уравнение первого порядка имеет следующий общий вид: F(x, y, y¢) = 0 (2) Если его можно разрешить относительно у¢, то у¢ = ¦(x, y) (3) Решение уравнения (3), которое содержит произвольную постоянную С, то есть имеющее вид: y = j(х, С) (4) называется общим решением данного дифференциального уравнения. Если это решение имеет вид:
f(х, у, С) = 0 или y(х, у) = С (5),
то в этом случае выражение (5) называется общим интегралом уравнения (3). Решить или проинтегрировать дифференциальное уравнение (3) – значит найти его общее решение в виде (4) или общий интеграл в виде (5).
Уравнения с разделяющимися переменными. Запишем уравнение у¢ = ¦(x, y) в виде:
dy/dx = ¦(x, y),
dy = ¦(x, y)dx Данному уравнению можно придать следующую форму: M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 (6) Предположим, что функции M(x, y) и N(x, y) можно представить следующим образом: M(x, y) = M1(x)´ M2(y) N(x, y) = N1(x)´ N2(y) Тогда уравнение (6) можно переписать в виде: M1(x)´ M2(y)dx + N1(x)´ N2(y)dy = 0 (7) Разделим данное уравнение на M2(y) N1(x), получим M1(x)/N1(x)dx + M2(y)/N2(y)dy = 0 (8) Уравнение (7) называется уравнением с разделяющимися переменными, а уравнение (8) – уравнением с разделенными переменными. Чтобы окончательно решить уравнение (8) перепишем его в следующем виде: M2(y)/N2(y)dy = -M1(x)/N1(x)dx (9) Переменные разделились относительно знака равенства: слева от знака равенства алгебраическое выражение зависящее только от у, справа от знака равенства алгебраическое выражение зависящее только от х. Проинтегрируем обе части уравнения (9): òM2(y)/N2(y)dy = -òM1(x)/N1(x)dx +C (10) Данное решение (10) есть общее решение уравнения (7) Частным решением уравнения (3) называется функция j(х,С0), которая получается из общего решения у = j(х,С) при определенном значении константы С = С0, которое определяется из начальных условий у0 = j(х0,С). Геометрически общее решение у = j(х,С) представляет собой семейство интегральных кривых на плоскости Оху, а частное решение у = j(х,С0) – одну интегральную кривую, проходящую через заданную точку (х0, у0).
|