уравнений методом разделения переменных.

Рассмотрим последовательность следующих дифференциальных уравнений первого порядка в порядке их усложнения.

Левая часть у них есть производная y΄, а правая есть последовательность из комбинаций х и у, величина к есть константа.

y΄= 0, к, кх, ку, кху, k´y/x, ……

Все вышеприведенные дифференциальные уравнения решаются методом разделения переменных.

1. dy/dx = 0 (y¢ = 0)

y = C - константа

2. dy/dx = k (y¢ = k)

dy = kdx

òdy = òkdx = kòdx

y = kx+С

3. dy /dx = kx (y¢ = kx)

dy = kxdx

òdy = òkxdx = kòxdx

y = k´x²/2 +C

4. dy/dx = ky (y¢ = ky)

dy/y = kdx

òdy/y = òkdx = kòdx

ln y = kx+d

y = Ce^kx

5. dy/dx = kxy (y¢ = kxy)

dy/y = kxdx

òdy/y = òkxdx = kòxdx

ln y = k´x^Ù2/²+C

y = e ^kxÙ2/2´e ^C = Ce ^kxÙ2/2

6. dy/dx = k´y/x (y¢ = k´y/x )

dy/y = k´dx/x

ln y = kln x + C

e ^{ln y} = e ^{klnx +C} = e^C´e^lnxk

y = Cx^k

7. (Öxy-2Öx)´ y¢-y = 0

Öx( Öy-2)dy/dx = y

(Öy-2)/y´dy = dx/Öx

dy/Öy -2dy/y = dx/Öx

òdy/Öy-2òdy/y = òdx/Öx

òy ^-0,5-2òdy/y = òx^-0,5 dx

y ^0,5/0,5 -2ln y = x^0,5/0,5+C

2Öy-2ln y = 2Öx +C

Öy-ln y = Öx +C – общее решение

8. (1)

- неопределенный интеграл есть решение дифференциального уравнения (1)