КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Схема исследования графика функцииПриведенный в разделе 5.6 теоретический обзор свойств функций позволяет рекомендовать следующую схему проведения исследования функций и построения их графиков. 1. Найти область определения функции у = f(x). 2. Определить возможный тип симметрии функции: четность или нечетность функции. Приналичии симметрии достаточно построить график функции на правой координатной полуплоскости и затем отобразить его на левую половину: зеркально относительно оси Оу в случае четности f(x) или с центральной симметрией при нечетности f(x). 3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат Ох и Оу, т. е. решить соответственно уравнения у = f(0) и f(x) = 0. 4. Найти асимптоты. 5. Найти точки возможного экстремума. 6. Найти критические точки. 7. Исследовать знаки первой и второй производных, определить участки монотонности функции, направление выпуклости графика, точки экстремума и перегиба. 8. Определить максимум и минимум функции на области ее определения. Если областью определения функции является отрезок [а, Ь], необходимо вычислить значения функции в его концах и сопоставить их с локальными экстремумами. 9. Построить график функции с учетом проведенного исследования. Пример. Исследовать функцию и построить ее график. 1. Областью определения функции являются все значения х, кроме х = 0. 2. Функция является функцией общего вида в смысле четности и нечетности. 3. Точки пересечения с координатными осями: c осью Ох: y = 0; x = ; с осью Оу: x = 0; y – не существует. 4. Точка х = 0 является точкой разрыва , следовательно, прямая х = 0 является вертикальной асимптотой. Наклонные асимптоты ищем в виде: y = kx + b. Наклонная асимптота у = х. 5. Находим точки экстремума функции. ; y¢ = 0 при х = 2, у¢ = ¥ при х = 0. y¢ > 0 при х Î (-¥, 0) – функция возрастает, y¢ < 0 при х Î (0, 2) – функция убывает, у¢ > 0 при х Î (2, ¥) – функция возрастает. Таким образом, точка (2, 3) является точкой минимума. Для определения характера выпуклости/вогнутости функции находим вторую производную. > 0 при любом х ¹ 0, следовательно, функция вогнутая на всей области определения. 6. Построим график функции.
Рис. 5.4. График функции .
|