XVI физико-математическая олимпиада для учащихся 8-10 классов

Московский государственный технический университет

Имени Н.Э.Баумана

Олимпиада школьников «Шаг в будущее»

XVI физико-математическая олимпиада для учащихся 8-10 классов

МАТЕМАТИКА 1 тур (заочный)

2012-2013 учебный год

1. (8 класс) Сравните числа и .

2. (8 класс) Докажите, что если выражение не делится на 5, то выражение делится на 30 ( – натуральное число).

3. (8 класс) Угол А треугольника АВС равен 48˚. Точка Е лежит на стороне ВС так, что прямая АЕ делит данный треугольник на два равнобедренных треугольника. Найдите наибольший угол треугольника АВС.

4. (8-9 класс) Определите, имеет ли корни уравнение

5. (8-9 класс) Найдите значение выражения

.

6. (8-9 класс) Найдите все целые значения a и b такие, что выражение является простым числом.

7. (9-10 класс) Найдите кратчайшее расстояние от точки, принадлежащей параболе , до прямой .

8. (9-10 класс) Дан угол величиной 60˚ и точка М такая, что расстояние от неё до одной из сторон угла равно 1, а от неё до вершины угла - . Найдите расстояние от точки М до другой стороны данного угла.

9. (9-10 класс) Как разрезать прямоугольник со сторонами 10 и 33 см на три подобных прямоугольника, среди которых нет равных? Сколько решений имеет задача?

10. (10 класс) Из пунктов А и В, расположенных вдоль реки, одновременно с одной и той же собственной скоростью, равной 12 км/ч, навстречу друг другу вышли два катера. После встречи они продолжили свой путь. Каждый из катеров прибыл в пункт назначения, сразу же развернулся и отправился обратно. На обратном пути катера снова встретились, причем между моментами двух встреч прошло 17 ч. Через 32 ч после выхода катера вернулись в исходные пункты. Найдите скорость течения реки.

11. (10 класс) Докажите, что если - острые углы и , то .

12. (10 класс) Решите в натуральных числах уравнение

.