Найти проекцию точки на плоскость

Найти острый угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах

5) Определить координаты вектора с , направленного по биссектрисе угла между векторами a и b, если вектор с= 3корней из 42. a={2;-3;6}, b={-1;2;-2}

Найдем единичный вектор e_a сонаправленный с a:

e_a = a/|a|,

аналогично e_b = b/|b|,

тогда искомый вектор будет направлен также как векторная сумма e_a+e_b, т.к. (e_a+e_b) это диагональ ромба, которая явл. биссектрисой его угла.

Обозначим (e_a+e_b)=d,

Найдем единичный вектор, который направлен по биссектрисе: e_c = d/|d|

Если |c| = 3*sqrt(42), тогда c = |c|*e_c. Вот и все.

6)

7)

Найти линейную зависимость между данными четырьмя некомпланарными векторами: p=a+b; q=b-c; r=a-b+c; s=b+(1/2)*c

Из первых трех равенств попробуйте выразить `a,b,c` через `p,q,r` (начните со сложения второго и третьего уравнений). Затем замените в последнем уравнении `b` и `c` найденными выражениями через `p,q,r`.

13) Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А(2, -1, 4) и В(3, 2, -1) перпендикулярно плоскости х + у + 2z – 3 = 0. Искомое уравнение плоскости имеет вид: Ax + By + Cz + D = 0, вектор нормали к этой плоскости (A, B, C). Вектор (1, 3, -5) принадлежит плоскости. Заданная нам плоскость, перпендикулярная искомой имеет вектор нормали (1, 1, 2). Т.к. точки А и В принадлежат обеим плоскостям, а плоскости взаимно перпендикулярны, то Таким образом, вектор нормали (11, -7, -2). Т.к. точка А принадлежит искомой плоскости, то ее координаты должны удовлетворять уравнению этой плоскости, т.е. 11×2 + 7×1 - 2×4 + D = 0; D = -21. Итого, получаем уравнение плоскости: 11x - 7y – 2z – 21 = 0.

14) Уравнение плоскости проходящее через прямую паралелльно вектору.

Пусть, искомая плоскость проходит через прямую (x-x1)/a1 = (y-y1)/b1 = (z-z1)/c1 параллельно прямой (x-x2)/a2 = (y-y2)/b2 = (z-z2)/c2 .

Тогда нормальный вектор плоскости есть векторное произведение направляющих векторов этих прямых:

Пусть, координаты векторного произведения (A;B;C). Искомая плоскость проходит через точку (x1;y1;z1). Нормальный вектор и точка, через которую проходит плоскость - однозначно определяют уравнение искомой плоскости:

A·(x-x1) + B·(y-y1) + C·(z-z1) = 0

15)

16)

17) Найти уравнение прямой, проходящей через точку A(5, -1) перпендикулярно к прямой 3x - 7y + 14 = 0.

18) Составить уравнение прямой, проходящей через точку М перпендикулярно к данной плоскости М(4,3,1) x+3y+5z-42=0

( x - x0 ) / n = ( y - y0 ) / m = ( z - z0 ) / p

где:

M(x0,y0,z0) - твоя точка М(4,3,1)

{n, m, p} - направляющий вектор прямой, он же вектро нормали для заданной поверхности {1, 3, 5} (коэффициенты при переменных x,y,z в уравнении плоскости)

19)

Найти проекцию точки на плоскость

Точка М(1,-3,2), плоскость 2x+5y-3z-19=0

M1 = M + t n = (1; -3; 2) + t (2; 5; -3) = (1 + 2t; -3 + 5t; 2 - 3t) ∈ P =>

2(1 + 2t) + 5(-3 + 5t) - 3(2 - 3t) - 19 = 0 => t = 1

M1 = (3; 2; -1).

23) Написать уравление плоскости, проходящей через 2 прямые (x-2)/3=(y+1)/2=(z-3)/(-2) и (x-1)/3=(y-2)/2=(z+3)/(-2)

l1{3,2,-2}

l2{3,2,-2}

направляющие векторы прямых

M1{2,-1,3}

M2{1,2,-3}

произвольные точки на прямых

M1M2 - вектор с началом в точке M1 и с концом в точке M2

M1M2{-1,3,-9}

n=[l1,M1M2]

i j k

n= 3 2 -2 = -12i+29j+11k

-1 3 -9

-12(x-2)+29(y+1)+11(z-3)=0

-12x+24+29y+29+11z-33=0

-12x+29y+11z+20=0