ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Det: Если для любого ε > 0 существует δ > 0: для всех значений аргумента х функции f: |x — x0| < δ выполняется неравенство |f(x) — A| < ε, то говорят, что функция f(x) имеет в точке х0 предел, равный А, который и принимается за значение функции f(x0), и записывают данный факт следующим образом:

lim f(x) = A = f(x₀)

x — >x₀

Данное определение весьма пригодится нам, чтобы лучше разобраться со следующей проблемой: а как же всё-таки находить пределы без «чувствований» или угадываний?

Но предварительно сформулируем полезные теоремы о пределах (не доказывая их).

ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ

Пусть имеют место две числовые последовательности: lim an = A, lim bn = B.

n —> ∞ n —> ∞

Тогда справедливы следующие соотношения:

1. lim С = С, если С = Соnst

n —> ∞

2. lim (a_n ± b_n) = lim a_n ± lim b_n = A ± B

n —> ∞ n —> ∞ n —> ∞

3. lim (a_n ^. b_n) = lim a_n ^.lim b_n = A^.B

n —> ∞ n —> ∞ n —> ∞

Следствие: lim (С^.an ) = С^.lim a_n = С^.А

n —> ∞ n —> ∞

4. lim (a_n / b_n) = (lim a_n) /(lim b_n) = A/B

n —> ∞ n —> ∞ n —> ∞

5. lim (a_n )^k = (lim a_n)^k = A^k

n —> ∞ n —> ∞

Очевидно, вышеперечисленные соотношения справедливы и для пределов функций, но нужно помнить, что переменная в этом случае должна стремиться к единственному значению. Например:

lim( f(x) ± g(x)) = lim f(x) ± lim g(x) = f(x₀) ± g(x₀)

x — >x₀ x — >x₀ x — >x₀

Примеры применения теорем о пределах рассмотрим в следующем разделе.

МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ

В данном разделе мы рассмотрим как ЧП, так и функции, и определим шесть основных методов расчёта пределов.

1. Непосредственная подстановка.

z.B. Рассмотрим предел

lim ((x — 4)/(x + 2)).

x —> 7

Нетрудно убедиться, что непосредственная подстановка значения х = 7 в выражение для искомого предела даёт значение предела, равное 1/3, то есть

lim ((x — 4)/(x + 2)) = (7 — 4)/(7 + 2) = 3/9 = 1/3.

x —> 7

Совершенно наивным будет предположение о том, что такие пределы будут нам попадаться в дальнейшем, но разумно будет предположить, что именно к таким простым пределам нам следует преобразовывать и сводить сложные пределы.

Рассмотренный пример не представляет никакой сложности, поскольку в нём отсутствовала так называемая неопределённость. В тех случаях, когда при непосредственной подстановке значения аргумента (или номера ЧП) в выражение предела получаются так называемые неопределённости вида

0/0; ∞/∞; 0 ^. ∞; 1^∞; ∞⁰; ∞ — ∞,

мы должны прибегать к другим способам расчёта пределов, указанным ниже.

2. Разложение на множители.

z.B. Рассмотрим предел

lim ((x³ — 8)/(x² — 4)).

x —> 2

Применив формулы разложения на множители для числителя и знаменателя, получим в итоге сомножители, обращающие в ноль и числитель, и знаменатель. Эти-то сомножители в нашей дроби, имеющей неопределённость вида 0/0, и сократятся, оставив дробь в виде, подпадающем под способ №1:

lim ((x³ — 8)/(x² — 4)) = lim ((x — 2)(х² + x + 4)/(x — 2)(x + 2)) =

x —>2 x —>2

lim ((х² + x + 4)/(x + 2)) = lim ((2² + 2 + 4)/(2 + 2)) = 12/4 = 3.

x —>2 x —>2

3. Домножение на сопряжённый множитель.

z.B. Рассмотрим предел

lim ((√x — 2)/(x² — 3x — 4)).

x —>4

Домножив числитель (а, чтобы преобразование осталось тождественным, также и знаменатель) данной дроби на сопряжённое к (√x — 2) выражение (√x + 2), получим предел вида

lim ((√x — 2)(√x + 2)/(x² — 3x — 4)(√x + 2)).

x —>4

Применение формул сокращённого умножения к выражениям числителя и знаменателя даёт

lim ((x — 4)/((x + 1)(x — 4)(√x + 2))),

x —>4

и после сокращения равных сомножителей (x — 4) в числителе и знаменателе дроби получаем предел

lim (1/((x + 1)(√x + 2))),

x —>4

который легко рассчитывается непосредственной подстановкой:

lim (1/((x + 1)(√x + 2))) = 1/((4 + 1)(√4 + 2)) = 1/20

x —>4

4. Вынесение за скобки старшей степени.

z.B. Рассмотрим предел вида

lim (3x³ – 4x +9)/(7x³ +5x² – 2)

x —> ∞

Налицо неопределённость вида ∞/∞, раскрыть которую поможет вынесение старших степеней переменной x как в числителе, так и в знаменателе:

lim (x³(3 – 4/x² +9/x³)/x³(7 +5/x – 2/x³)),

x —> ∞

что после сокращения сомножителей x³, «ответственных» за неопределённость, позволяет применить теоремы о пределах для расчёта предела.

lim((3 – 4/x² +9/x³)/(7 +5/x – 2/x³)) = lim (3 – 4/x² +9/x³)/ lim (7 +5/x – 2/x³)) =

x —> ∞ x —> ∞ x —> ∞

=(lim 3 – 4(lim (1/x))² + 9(lim (1/x))³)/(lim 7 +5lim (1/x) – 2(lim (1/x))³) =

x —> ∞ x —> ∞ x —> ∞ x —> ∞ x —> ∞ x —> ∞

=(3 – 4(0)² + 9(0)³)/(7 + 5(0) – 2(0)³) = 3/7.

5. Замена переменной.

z.B. Рассмотрим уже знакомый нам предел

lim ((x³ — 8)/(x² — 4)).

x —> 2

Применим замену переменной. Если x —> 2 , то, очевидно, следует принять x = 2 +ε , и рассматриваемый предел принимает вид

lim (((2 + ε)³ — 8)/((( 2 + ε )² — 4)),

ε —> 0

что после раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых даёт

lim ((12ε + 6ε² + ε³)/((4ε + ε²)),

ε —> 0

где способ № 4 позволяет вынести за скобки старшую степень ε:

lim (ε(12 + 6ε + ε²)/(ε(4 + ε)) = lim ((12 + 6ε + ε²)/((4 + ε)) =12/4 =3.

ε —> 0 ε —> 0

6. Сведение к замечательным пределам.

Чтобы использовать данный способ расчёта пределов, сначала познакомимся с некоторыми из замечательных пределов. Таблицу замечательных пределов оформим в виде строгой записи предела и в виде записи эквивалентности выражений.

ТАБЛИЦА ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ ПРЕДЕЛОВ И ЭКВИВАЛЕНТНОСТЕЙ

z.B. Рассчитаем предел

lim (1 + tg x)^{Ctg x} .

x —> 0

Применив замену tg x = ε, и записав Ctg x = 1/tg x = 1/ε,

и эквивалентность tg ε ≈ ε, получаем следующий вид предела:

lim (1 + ε)^1/ε = е. (см. замечательный предел № 2)

ε —> 0

Для приобретения уверенности и навыка в расчётах пределов следует выполнить задания №№ 10.001 – 10.018 из сборника задач по математике для поступающих в вузы под редакцией М. И. Сканави, а также некоторые номера (по выбору преподавателя) из №№ 384.1. – 466.1. части I задачника по курсу математического анализа под редакцией Н. Я. Виленкина.