Изотропная ионосфера

Каждая спектральная компонента изучаемого сигнала распространяется как плоская монохроматическая волна в направлении нормали к земной поверхности — вдоль оси . Для отдельной компоненты ионосфера представляет собой плоско-слоистую среду, обладающую при пренебрежении магнитным полем Земли показателем преломления . Квадрат показателя преломления [1], [3], [4] является комплексной величиной, мнимая часть которой обусловлена наличием потерь в ионосфере за счет соударений электронов с нейтральными частицами и ионами. Потери приводят к уменьшению амплитуды спектральных гармоник при их распространении. Влияние же их на фазу гармоник на высоких частотах оказывается незначительным, поэтому при анализе фазовой структуры спектральных гармоник в ионосферной плазме соударениями электронов (потерями) обычно пренебрегают и используют выражение для показателя преломления бесстолкновительной плазмы

,

где — угловая плазменная частота электронов, в системе единиц СИ равная

Здесь — электронная концентрация (плотность электронов) с размерностью , и — заряд и масса электрона, — диэлектрическая проницаемость вакуума. При использовании численных значений и замене значения с на значение с из следует выражение для плазменной частоты электронов

На высоких частотах в приближении геометрической оптики (ГО) [1] поле отдельной спектральной компоненты волнового пакета на высоте над земной поверхностью в области прозрачности ионосферы ( при ) дается выражением

,

где — волновое число в вакууме ( — скорость света в вакууме). Подстановка в приводит к интегральному Фурье-представлению поля волнового пакета в ионосфере

,

в котором

Асимптотика интеграла на высоких частотах может быть полностью найдена с помощью метода стационарной фазы [2]. Точка стационарной фазы определяется из уравнения

,

которое с учетом принимает вид

.

Из этого уравнения при заданных и можно в принципе найти , а затем рассчитать асимптотику интеграла . Если же интересоваться только временем распространения максимума огибающей волнового пакета, то следует учесть, что спектральная функция излучаемого сигнала обладает максимумом на угловой частоте заполнения . Поэтому интеграл принимает максимальное значение при условии . При этом соотношение превращается в выражение для времени распространения максимума огибающей волнового пакета от поверхности Земли до уровня в ионосфере с высотой , причем в нем следует положить . Именно так мы и будем понимать дальше выражение , считая, что частота является угловой частотой заполнения волнового пакета.

Отражение волнового пакета с угловой частотой заполнения происходит от уровня в ионосфере [1], на котором или с учетом явного вида из

В случае ограниченного слоя с одним максимумом электронной концентрации и соответственно плазменной частоты равенство может выполняться только при . На частотах показатель преломления не обращается в ноль и в слое отсутствует уровень отражения. Максимум плазменной частоты слоя называют его критической частотой

.

Если частота заполнения волнового пакета превышает критическую частоту, то в приближении ГО он проходит через слой без отражений. На частотах ниже критической из равенства в принципе определяется истинная высота отражения как функция частоты заполнения волнового пакета

при .

Для нахождения истинной высоты из [A1] целесообразно опираться на высотный профиль угловой плазменной частоты , связанный с электронной концентрацией соотношением [A2] . Качественный вид профиля для ограниченного слоя с одним максимумом приведен на рис. 1, на котором отвечает началу слоя, — максимуму электронной концентрации (и плазменной частоты).

Рис. 1.1. Качественный вид высотного профиля[A3] для ограниченного слоя с одним максимумом

Откладывая на оси значение , по профилю угловой плазменной частоты находим . Заметим, что обратная функция для истинной высоты отражения совпадает с нижней (отражающей) частью профиля плазменной частоты.

При наличии уровня отражения волновой пакет распространяется от поверхности Земли до него, а затем возвращается на земную поверхность. Время распространения волнового пакета (время группового запаздывания) в этом случае равно удвоенному значению времени его распространения от поверхности Земли до уровня отражения и, согласно , дается выражением

На его основании вводится так называемая действующая (кажущаяся, эквивалентная) высота отражения

При использовании формулы выражение принимает вид

Поскольку , действующая высота больше истинной . Функция , определяющая зависимость действующей высоты отражения от частоты, называется высотно-частотной характеристикой ионосферы.

Интеграл для действующей высоты, полученный в приближении ГО, является несобственным вследствие обращения в ноль показателя преломления в точке отражения. При он сходится, поскольку в точке отражения, расположенной ниже максимума слоя, квадрат показателя преломления обладает простым нулем и особенность подынтегральной функции является интегрируемой (типа ). Если же , то точка отражения находится в максимуме слоя и имеет здесь ноль второй кратности, что приводит к неинтегрируемой особенности (типа ). В этом случае, интеграл расходится и (в приближении ГО). Для иллюстрации частотной зависимости действующей высоты отражения обратимся к параболическому слою с электронной концентрацией

где — максимальное значение электронной концентрации ( ), — высота максимума слоя ( ) над Земной поверхностью , — полутолщина слоя ( ). В этом случае интеграл сводится к простому аналитическому выражению

,

согласно которому действующая высота монотонно возрастает с ростом частоты и имеет логарифмическую особенность при .

Следует отметить, что выражение получено в приближении ГО. Более строгое рассмотрение действующей высоты [1], основанное на точном решении задачи для параболического слоя, показывает, что формулу можно использовать (с высокой степенью точности, лучшей 1%) вплоть до частоты , где . Величина равна для E‑слоя (при , ) и для F‑cлоя (при , ). На критической же частоте, при точном решении задачи, действующая высота принимает максимальное конечное значение. Графики зависимости действующей высоты от частоты для параболического слоя с и в окрестности критической частоты [1], рассчитанные в приближении ГО и по точному решению задачи, приведены на рис. 2

Рис. 1.2. Высотно-частотная характеристика для параболического слоя вблизи критической частоты: а — приближение ГО, б — строгое решение[A4]

Из рисунка ясно, что приближение ГО для практически совпадает с точным значением уже при .