Решение системы дифференциальных уравнений

F₁(x, y_{1, …. ,} y_{n ,} y₁’, … , y_n’) = 0,

…………………………………

F_n(x, y_{1, …. ,} y_{n ,} y₁’, … , y_n’) = 0,

- совокупность n функций y₁(х), y₂(х)_, … ,y_n (х)_, имеющих непрерывные производные и обращающих все уравнения этой системы в тождества.

Система обыкновенных дифференциальных уравнений -совокупность уравнений

F₁(x, y_{1, …. ,} y_{n ,} y₁’, … , y_n’) = 0,

…………………………………

F_n(x, y_{1, …. ,} y_{n ,} y₁’, … , y_n’) = 0,

где y₁(х), y₂(х)_, … ,y_n (х) - искомые функции от x.

Система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений - система обыкновенных дифференциальныхуравнений вида

.

Теорема Пеано – см. Теорема существования решения задачи Коши.

Теорема существования решения задачи Коши (Теорема Пеано): Если правая часть дифференциального уравнения определена и непрерывна по совокупности переменных в некоторой окрестности точки , то уравнение имеет хотя бы одно решение y = y(x), удовлетворяющее начальному условию y(x₀) = x₀.

Теорема Пикара – см. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Теорема существования и единственности решения задачи Коши (теорема Пикара): Если правая часть уравнения определена в некоторой окрестности точки и удовлетворяет в ней двум условиям:

1) непрерывна по совокупности переменных;

2) имеет непрерывную частную производную по переменной у ,

то уравнение имеет единственное решение y = y(x), удовлетворяющее начальномуусловию y(x₀) = x₀.

Уравнение Бернулли - уравнение вида

y’+ p(x)y = g(x)у⁽ⁿ⁾,

где n – любое вещественное число, отличное от нуля и единицы.

Уравнение в полных дифференциалах - см.дифференциальное уравнение в полных дифференциалах.

Уравнение с частными производными - дифференциальное уравнение, в котором искомая неизвестная функция зависит от нескольких независимых переменных.

Формула Остроградского - Лиувилля - формула для определителя Вронского, составленного из n частных решений однородного линейного уравнения n-го порядка

его коэффициенты при производной порядка (n-1).

Фундаментальная система решений - система линейно независимых решений линейного дифференциального уравнения. Число линейно независимых решений в фундаментальной системе соответствует порядку уравнения.

Характеристическое уравнениедля линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

, (1)

получается при замене и имеет вид

.

Частное решение- решение, в каждой точке которого сохраняется единственность решения задачи Коши. Частное решение содержится в общем решении при определенных значениях С, включая С = ± ∞.