Интерполяция функция с помощью полиномов Лагранжа.

Введение

Данная курсовая работа выполнена на языке программирования высокого уровня С++ с использованием компилятора Microsoft Visual Studio 2013. Этот язык был разработан в начале 80-х годов в Bell Laboratories. С++ - расширение С, т.е. он обеспечивает кардинальное преимущество языка С++, как над своим предшественником языком С так и над другими языками высокого уровня: поддержка объектно-ориентированного программирования, перегруженных операций и возможность разработки полномасштабных windows -приложений. Можно сказать, что язык С++ является одним из совершенных и сложных языков программирования на сегодняшний день.

С помощью языка С++ можно решать всевозможные задачи ставящиеся перед современным программистом: написание системных программ, разработка полноценных windows-приложений, объектное моделирование. Благодаря тому, что язык С++ первоначально разрабатывался как язык системного программирования, то он предоставляет программисту широкие возможности для работы с аппаратурой. Но так как язык С++ подвергся полномасштабной обработки, то он обеспечивает пользователя широким набором средств для решения задач объектно-ориентированного программирования, благодаря этому язык С++ позволяет осуществить интеграцию принципов объектно-ориентированного программирования на аппаратный уровень.

В данной курсовой работе была реализовано создание класса и его дальнейшее использование в программном продукте для интерполирования функции с помощью полинома Лагранжа

Анализ предметной области.

Интерполяция функция с помощью полиномов Лагранжа.

Интерполяция, интерполирование — в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.

Многим из тех, кто сталкивается с научными и инженерными расчётами, часто приходится оперировать наборами значений, полученных опытным путём или методом случайной выборки. Как правило, на основании этих наборов требуется построить функцию, на которую могли бы с высокой точностью попадать другие получаемые значения. Такая задача называется аппроксимацией. Интерполяцией называют такую разновидность аппроксимации, при которой кривая построенной функции проходит точно через имеющиеся точки данных.

Рассмотрим систему несовпадающих точек ( ) из некоторой области . Пусть значения функции известны только в этих точках:

Задача интерполяции состоит в поиске такой функции из заданного класса функций, что

· Точки называют узлами интерполяции, а их совокупность — интерполяционной сеткой.

· Пары называют точками данных или базовыми точками.

· Разность между «соседними» значениями — шагом интерполяционной сетки. Он может быть как переменным, так и постоянным.

· Функцию — интерполирующей функцией или интерполянтом.

Интерполяционный многочлен Лагранжа — многочлен минимальной степени, принимающий данные значения в данном наборе точек. Для n+1 пар чисел (x0, y0), (x1, y1),…, (xn, yn), где все xj различны, существует единственный многочлен L(x) степени не более n, для которого L(xj) = yj.

В простейшем случае (n=1) — это линейный многочлен, график которого — прямая, проходящая через две заданные точки.

Лагранж предложил способ вычисления таких многочленов:

где базисные полиномы определяются по формуле:

l_i(x) обладают следующими свойствами:

· являются многочленами степени n

· l_i(x_i) = 1

· l_i(x_j) = 0 при j ≠ i

Отсюда следует, что L(x), как линейная комбинация l_i(x), может иметь степень не больше n, и L(x_i) = y_i.

Пример

Найдем формулу интерполяции для f(x) = tan(x) имеющей следующие значения:

Получим