ПРИМЕР РАСЧЕТА

Таблица 1.1 – Исходные данные для примера

1) По условиям задания требуется определить числовые значения показателей надежности приводных клиновых ремней по результатам испытаний 40 однотипных образцов. Клиновые ремни – неремонтируемые изделия, основными показателями их надежности являются:

– дифференциальная и интегральная функции распределения наработки этих изделий до первого отказа;

– вероятность безотказной работы R(t);

– средняя наработка до первого отказа Т_с;

– интенсивность отказов.

Числовые значения показателей надежности определяют по результатам наблюдений за испытаниями однотипных изделий в заданных условиях, фиксируя наработку отдельных изделий до первого отказа в часах работы под нагрузкой. Результаты испытаний представляют в виде интервального статического ряда распределения наработки изделий до первого отказа (таблица 1.2).

Таблица 1.2 – Интервальный статистический ряд эмпирического

распределения наработки клиновых ремней до первого отказа

2) Данные из таблицы 1.2 используются для построения графиков, наглядно характеризующих эмпирическое распределение случайной величины – гистограммы и полигона (рисунок 1.6).

При построении гистограммы на горизонтальной оси графика откладывают значения, соответствующие границам частичных интервалов, а на вертикальной – частоты или частости, также по отдельным интервалам. Далее строят прямоугольники, основания которых лежат на горизонтальной оси координат и равны величине частичных интервалов, а высоты равны частотам или частостям соответствующих интервалов. В результате получается ступенчатый многоугольник или гистограмма.

Если теперь соединить прямыми линиями середины верхних (горизонтальных) сторон прямоугольников гистограммы, то получим полигон распределения в виде ломаной линии.

По гистограмме и полигону распределения можно заключить, что наиболее вероятная наработка клиновых ремней до первого отказа находится в интервале значений от 300 до 600 ч.

3) Числовые значения статистических характеристик распределения случайной величины, таких как:

– среднее арифметическое значение Т_с;

– выборочное среднее квадратическое отклонение S;

– коэффициент вариации υ

подсчитываются по следующим уравнениям:

Последний коэффициент используется не только как относительная характеристика степени рассеивания случайной величины относительно среднего значения, но и для ориентировочного выбора теоретического закона распределения (ТЗР) случайной величины. Применительно к рассматриваемому заданию при υ<0,33 выбирается нормальный закон распределения, а при υ>0,33 – закон распределения Вейбулла. Поскольку в примере значение υ<0,33, примем для дальнейших расчетов нормальный закон распределения наработки клиновых ремней до первого отказа. Этот ориентировочный вывод будет в дальнейшем проверяться с применением критерия согласия λ (А.Н. Колмогорова).

Рисунок 1.6 – Гистограмма и полигон эмпирического распределения

наработки клиновых приводных ремней до первого отказа

4) Статистические оценки:

– вероятности безотказной работы R(t);

– интенсивности отказов λ(t) клиновых ремней для i-ых частичных интервалов;

– эмпирической интегральной функции F_э(t)

подсчитываются по следующим уравнениям:

где N – число изделий в начале испытаний (в рассматриваемом задании N=40);

∑m_i – число отказавших изделий к концу i-го интервала;

∆t – значение наработки в частичном интервале (в данном случае ∆t=150 ч);

N(t_i) – число работоспособных изделий к началу i-го частичного интервала.

Исходные данные для расчетов, и их результаты сводятся в таблицу 1.3 применительно к рассматриваемому примеру.

Таблица 1.3 – Определение статистических оценок

5) Графики изменения опытной вероятности безотказной работы R(t) и эмпирической интегральной функции F_э(t)=∑m_i/N строятся с использованием соответствующих значений для частичных интервалов из таблицы 1.3. Между обоими показателями надежности существует взаимосвязь, обусловленная уравнением

6) Интегральная функция распределения F(t) является наиболее общей характеристикой распределения как дискретных, так и непрерывных случайных величин. Она определяет вероятность того события, что случайная величина будет меньше или равна наперед заданному значению. Интегральная функция распределения F(t) может быть задана аналитически или представлена в виде графика (рисунок 1.7).

Рисунок 1.7 – Эмпирическая (1) и теоретическая (2)

интегральные функции распределения наработки клиновых ремней

до первого отказа и вероятность безотказной работы (3)

ремней по данным испытаний на надежность

Значения теоретической интегральной функции F_т(t) для нормального распределения с известными параметрами определяются по табличному интегралу Ф(z), который непосредственно показывает вероятность того события, что значение случайной величины находится в пределах от 0 до t. Значения функции F_т(t) в конце i-го частичного интервала принимаются равными значению интеграла Ф(z) по таблице Б.1 Приложения Б.

Применительно к рассматриваемому заданию (Т_с=450 ч и S=142,3 ч)

где T_вi – верхняя граница i-го частичного интервала значений наработки клиновых ремней до первого отказа.

Например, верхняя граница i-го частичного интервала T_вi=150 ч. Тогда z_i=(150–450)/142,3= –2,11, и по таблице Б.1 определяем Ф(–2,11)=0,0175≈0,018. Следовательно, значение теоретической интегральной функции F_т(t) в конце первого частичного интервала равно 0,018. Аналогично определяют значения F(t) для других частичных интервалов, записывают их в таблице 1.3 и наносят найденные значения на рисунке 1.2, получая график теоретической интегральной функции распределения F_т(t).

7) Проверку соответствия между выбранным теоретическим законом распределения и эмпирическим распределением наработки клиновых ремней до первого отказа можно провести с использованием одного из критериев согласия, подтверждающего или опровергающего статистическую гипотезу о виде выбранного теоретического закона распределения с принятым уровнем значимости α.

Обычно в технических расчетах принимают α=0,05, т. е. допускают тем самым в 5 случаях из 100 возможность ошибки первого рода, связанной с риском отбросить правильную статистическую гипотезу.

Применительно к рассматриваемому заданию рекомендуется проводить проверку соответствия теоретического и эмпирического распределений по критерию согласия А.Н. Колмогорова. Для этого по таблице 1.4 определяют максимальное абсолютное значение разности D между эмпирической и теоретической интегральными функциями распределения для отдельных i-ых частичных интервалов, т. е.

Таблица 1.4 – Проверка соответствия эмпирического и теоретического распределений наработки клиновых ремней до первого отказа

по критерию λ

Как следует из таблицы 1.4, D_max=0,047. Тогда расчетное значение критерия согласия

λ=0,047 =0,297.

Для λ=0,297 по таблице В.1 из Приложения В находим значение Q(λ)=0. Тогда R(λ)=1–Q(λ)=1,0. Поскольку значение R(λ) больше принятого уровня значимости 0,05, то принятая гипотеза о применимости закона нормального распределения к эмпирическому распределению наработки клиновых ремней до первого отказа не отвергается. Тем самым можно говорить о соответствии теоретического и эмпирического распределений.

8) Интервальная оценка средней наработки клиновых ремней до первого отказа в отличие от точечной оценки (путем подсчета среднего арифметического значения) позволяет получить результат с наперед заданной достоверностью, или доверительной вероятностью R, которую в практических расчетах принимают равной 0,8–0,95. По ГОСТ 11.004-74 «Прикладная статистика. Правила определения оценок и доверительных границ для параметров нормального распределения», нижняя m_нi и верхняя m_вi границы доверительного интервала для средней наработки Т_c, определяются по уравнениям:

где t_γ(ν) – γ-квантиль распределения t (Стьюдента) с ν=N–1 степенями свободы для статистической выборки из N значений.

Для R=0,95 и N=40 квантиль равна 1,684 (таблица Г.1 Приложения Г).

Тогда в рассматриваемом примере

m_нi=450–1,684 142,3/40^½=412 ч;

m_вi=450+1,684 142,3/40^½=488 ч.

Таким образом, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что значение средней наработки клиновых ремней до первого отказа будет находиться в интервале от 412 до 488 часов.

Результаты сводятся в таблицу 1.5.

Таблица 1.5 – Результаты статистических расчетов