Реализм в логике 3 страница

IV

Как было упомянуто ранее, я реалист. Я признаю, что такой идеализм, как кантовский, можно защищать в той мере, в какой он утверждает, что все наши теории созданы человеком и что мы пытаемся наложить их на мир природы. Но я реалист постольку, поскольку считаю, что ответ на вопрос о том, истинны или нет созданные человеком теории, зависит от реальных фактов — реальных фактов, которые, за очень немногими исключениями, явным образом не созданы человеком. Наши созданные человеком теории могут приходить в столкновение с этими реальными фактами, и тогда в наших поисках истины нам приходится приспосабливать теории к фактам или же отказываться от этих теорий.

Теория Тарского позволяет нам определить истину как соответствие фактам, но мы можем также использовать ее для того, чтобы определить реальность (действительность) как то, что соответствует истинным суждениям. Например, мы можем отличить реальные факты, то есть (предполагаемые) факты, которые реальны, от (предполагаемых) фактов, которые нереальны (то есть от не-фактов). Или более явно: мы можем сказать, что предполагаемый факт — например то, что луна состоит из зеленого сыра — является реальным фактом, если и только если описывающее его высказывание (такое, как «Луна состоит из зеленого сыра») истинно; в противном случае предполагаемый факт не является реальным фактом (или, если вы предпочитаете говорить так, вообще не является фактом).

И точно так, как Тарский позволил нам заменить термин «истина» на «множество истинных высказываний (или предложений)», мы можем заменить термин «реальность» на «множество реальных фактов».

14'Так, Тарский подчеркивал, что понятие истины можно было бы ввести не через определение, а через аксиомы.

1S) См. Martin R.M. Truth and Denotation. A Study in Semantical Theory. London, Routledge & Keagan Paul, 1958.

Таким образом, я предполагаю, что если мы можем определить понятие истины, мы может определить и понятие реальности. (Конечно, при этом возникает проблема порядка, аналогичная проблеме порядка языков в работе Тарского, см. особенно его «Постскриптум» на р. 268-277 «Logic, Semantics, Metamathematics»). Я не собираюсь этим сказать, что термин «истина» в каком-либо смысле более фундаментален, чем термин «реальность»: я хотел бы отвергнуть любое подобное предположение из-за его идеалистического привкуса¹⁶⁾. Я просто хочу сказать, что если возможно определить «истину» как «соответствие фактам» или, что сводится к тому же, как «соответствие реальности», то в равной мере возможно определить «реальность» как «соответствие истине». А поскольку я реалист, мне хотелось бы иметь возможность быть спокойным на тот счет, что понятие реальности не «пусто» и ни по какой — той или иной причине — не является подозрительным; во всяком случае оно не более подозрительно, чем понятие истины.

V

Среди более ранних теорий Тарского, доступных для неискушенного философа, такого как я, есть его теория исчисления систем. Я был в Париже в 1935 году, когда, если мне не изменяет память, Тарский закончил свою работу об исчислении систем («Calculus of System»)¹⁷⁾. Она меня очень заинтересовала.

Я попытался скомбинировать некоторые из наиболее очевидных результатов работы Тарского об истине с результатами его работы по исчислению систем. Мы сразу же получаем следующие в высшей степени тривиальные теоремы, в которых предполагается, что упоминаемые в них языки не универсалистские (universalistic).

Теорема. Множество Г истинных высказываний любого языка есть дедуктивная система в смысле исчисления систем Тарского. Эта система полна¹⁸).

Как дедуктивная система, Т представляет собой класс (всех собственных) следствий (consequence class); это значит, что он совпадает с классом Сп(Т) своих собственных логических следствий (Т = Сп(Т)). Эта система полна в том смысле, что если к Т прибавить любое высказывание, не принадлежащее Т, получившийся класс будет противоречивым.

Теорема. Множество истинных высказываний любого достаточно богатого языка есть неаксиоматизируемая дедуктивная система в смысле исчисления систем Тарского.

16)См. Popper K.R. Conjectures and Refutations, примечание 33 на р. 116 с выражением признательности Александру Койрё.

17>См. Тарский A, Logic, Semantics, Metamathematics. Oxford, Clarendon Press, 1956, pp. 342-383.

18) Я в основном следую символике Тарского (особенно в том, что касается употребления заглавных курсивных букв для обозначения дедуктивных систем), за исключением того, что для класса истинных высказываний, который Тарский обозначает Гг, я использую символ Т.

Обе эти теоремы совершенно тривиальны и в дальнейшем изложении будет предполагаться, что рассматриваемые языки достаточно богаты, чтобы удовлетворять второй из них.

Теперь я введу новое понятие — понятие истинностного содержания высказывания а.

Определение. Множество всех истинных высказываний, следующих из любого данного высказывания а, называется истинностным содержанием а. Это — дедуктивная система.

Теорема. Истинностное содержание любого истинного высказывания А есть аксиоматизируемая система Ат= А; истинностное содержание любого ложного высказывания а есть дедуктивная система Ат С А, где А_т неаксиоматизируема, если только рассматриваемый язык-объект достаточно богат.

Это определение и эту теорему можно обобщить. Исчисление дедуктивных систем Тарского можно рассматривать как обобщение исчисления высказываний, поскольку каждому высказыванию (или классу логически эквивалентных высказываний) а соответствует (финитно) аксиоматизируемая система А, такая что

А = Сп(А) = Сп({а})

и наоборот: каждой аксиоматизируемой дедуктивной системе А соответствует некоторое высказывание (или класс логически эквивалентных высказываний) а. Поскольку же существуют также неаксиоматизируемые дедуктивные системы или классы следствий, такие что не существует высказываний или конечных классов высказываний, классом следствий которых они бы являлись, переход от высказываний к классам следствий или дедуктивным системам или от исчисления высказываний к исчислению систем можно назвать обобщением.

Таким образом, мы имеем — в более общем виде — для каждого класса следствий или дедуктивной системы А систему А_Т — истинностное содержание А. Она совпадает с А, если и только если А состоит только из истинных высказываний, и в любом случае она есть подсистема А: очевидно, А_т есть произведение, или пересечение, множеств А и Т.

Можно задать вопрос: соответствует ли истинностному содержанию Ат высказывания а или дедуктивной системы А также нечто, что можно было бы назвать ложностным содержанием A_F высказывания а или дедуктивной системы AI Кажется естественным определить ложностное содержание дедуктивной системы А как класс всех ложных высказываний, принадлежащих А, но это будет не вполне удовлетворительно, если мы хотим использовать (как я предлагаю) термин «содержание» как третий синоним к терминам «дедуктивная система» и «класс следствий». Ведь этот класс, состоящий, по предположению, только из ложных высказываний, не является дедуктивной системой: всякая дедуктивная система А содержит истинные высказывания — собственно говоря, бесконечное число истинных высказываний, — так что класс, состоящий (312:) исключительно из ложных высказываний, принадлежащих А, не может быть содержанием.

Чтобы ввести понятие ложностного содержания Ар высказывания а или класса следствий А, можно обратиться к понятию относительного содержания А при данном Б, которое можно ввести как обобщение дедуктивной системы в смысле Тарского, или {абсолютного) содержания А = Сп(А). Я попытаюсь разъяснить это понятие, и ввиду возможной интуитивной критики я введу также понятие меры содержания. В конце этой главы я введу с помощью понятия мер истинностного содержания и ложностного содержания понятие степени приближения к истине, или правдоподобности (verisimilitude).

VI

Тарский говорит о больших или меньших дедуктивных системах или классах следствий. Действительно, множество дедуктивных систем (для некоторого языка) частично упорядочено отношением включения, совпадающим с отношением выводимости. Следующее замечание, высказанное Тарским в его работе об исчислении систем, можно использовать как ключ к релятивизации классов следствий, или содержаний, или дедуктивных систем: «среди дедуктивных систем существует наименьшая, то есть являющаяся подсистемой всех других дедуктивных систем. Это система Сп(0) — множество следствий пустого множества. Эта система, которая здесь для краткости будет обозначаться L, может интерпретироваться как множество всех логически верных (valid) предложений (или, в более общем виде, как множество всех тех предложений, которые мы признаем за истинные с самого начала, когда принимаемся строить дедуктивную теорию, являющуюся предметом... нашего исследования)»¹⁹).

Это наводит на мысль, что мы можем использовать вместо нулевой системы L какую-то другую систему «в качестве множества всех тех предложений, которые мы признаем за истинные с самого начала, когда принимаемся строить, и т.д.». Обозначим, как и ранее, дедуктивную систему, содержанием которой мы интересуемся, переменной «А», а «множество всех тех предложений, которые мы признаем за истинные с самого начала», переменной «Б». Тогда мы можем написать выражение

Сп(А, В)

как релятивизацию (relativization) Cn(A) Тарского, которое является особым случаем при Б = L = Сп(0):

Cn(A) = Cn(A,L).

Мы можем писать сокращенно «Л, Б» вместо «Cn(i4, Б)», точно так же, как Тарский пишет «4» вместо «Сп(А)». Процитированный отрывок из Тарского подсказывает следующее определение:

Определение: А,В = Сп(А, В) = Сп(А + Б) - Сп(В).

¹⁹⁾ Tarski A. Logic, Semantics, Metamathematics. Oxford, Clarendon Press, p. 343.

А отсюда очевидным образом следует Теорема:

А = Сп(А) =A,L = Сп{А, L) = Сп(А + L) - Cn(L).

Ограничиваясь относительным способом записи, мы получаем для истинностного содержания

Ат = AT)L = Сп{(А.Т) + L) - Cn(L)} а для ложностного содержания

AF = А,АТ = Сп(А + Ат) - Сп{Ат) = Сп(А) - Сп{Ат), что превращает ложностное содержание AF в относительное содержание, объем (extension) которого совпадает (как первоначально и предлагалось) с классом всех ложных высказываний в А.

VII

Против предложенного определения ложностного содержания Ар как относительного содержания А, Ат можно выдвинуть следующее возражение. Это определение интуитивно опирается на цитату из Тарского, в которой Тарский принимает L за наименьшую или нулевую дедуктивную систему. Вместе с тем в нашей последней теореме

А = A, L = Сп(А + L) - Cn(L)

мы воспринимали слово «нулевая» слишком буквально: теперь мы видим, что L следует понимать как множество меры нуль, а не как множество, которое, с учетом нашего выражения «-Cn(L)», в буквальном смысле пусто или которого больше нет, согласно нашему определению, поскольку оно было вычтено (так что в А остались только нелогические высказывания, чего мы не имели в виду).

Относимся мы к этому возражению серьезно или нет, оно в любом случае исчезает, если мы решим оперировать с мерой содержания ct(A) или ct(A,B), а не с самим содержанием, или классом следствий Сп(А) или Сп(Л,В).

В 1934 году Тарский привлек внимание пражской конференции к аксиоматизации исчисления относительной вероятности дедуктивной системы А при данной дедуктивной системе В, предложенной Стефаном Мазуркевичем 20) и опирающейся на исчисление систем Тарского. Такую

20) Тарский ссылается на работу: Mazurkiewicz S. Die Grundlagen der Wahrscheiningskeits-rechnung I. Monatshefte fьr Mathematik & Physik, Band 41, 1934, SS. 343-352. Из сноски 2 на S. 344 этой работы видно, что исчисление систем Тарского было известно польским математикам еще в 1930 году. Система Мазуркевича имеет определенный финитистский характер в отличие от моей собственной системы (см. Popper К. R. The Logic of Scientific Discovery, pp. 326-358), которую можно интерпретировать различными способами, например как исчисление вероятностей дедуктивных систем.

Я могу, пожалуй, упомянуть, что в настоящей работе я использую в качестве символов для функций меры, таких как вероятность, содержание и правдоподобность, строчные курсивные буквы, например, р(А), ct(A), vs(A). (Добавлено в 1978 г.) Везде, где это необходимо, я принимаю «тонкую структуру» вероятности. См. Popper К. Я The Logic of Scientific Discovery, New Appendix *VIL

аксиоматизацию можно рассматривать как введение функции меры для дедуктивных систем или содержаний А, В, С,... , даже хотя данная конкретная функция — функция вероятности

и возрастает с уменьшением относительного содержания. Это наводит на мысль ввести меру содержания с помощью определения, такого как

Определение: ct(A, В) = 1 - р(А, В).

Эта функция возрастает и убывает с возрастанием и убыванием относительного содержания. (Возможны, конечно, и другие определения, но это кажется самым простым и очевидным). Мы сразу же получаем:

ct(L) = О ct(A_T) = \-p(A.T₎L) = l-p(A.T)

ct(A_F) = I -p(A,A_T), что соответствует ранее полученным результатам.

Это наводит на мысль, что мы можем ввести понятие правдоподобности, или verisimilitude, высказывания а таким образом, чтобы оно возрастало вместе с возрастанием истинностного содержания этого высказывания и убывало с ростом его ложностного содержания. Это можно сделать несколькими способами²¹).

Самый очевидный способ — принять ct(A_T) - ct(A_F) за меру правдоподобности А. Однако по причинам, которые я здесь не буду обсуждать, мне кажется несколько более предпочтительным определить правдоподобность vs(A) как разность, умноженную на некий нормализующий множитель, предпочтительно следующий:

______1______________1______

(р(А_Т, L) + р(А, А_т)) « (2 - ct(A_T) - ct{A_F))'

Таким путем мы получаем следующее

Определение:

(d(A_T) - ct(A_F))

^VS(A) * (2 - d(A_T) - ct{A_F)Y что, конечно, можно переписать в р-нотации как:

(p(A,A_T)-p(A_T,L)) ^VS(A)- (_P(A,A_T)+p(A_T,L)Y

А это приводит к

-1 ^vs(A) ^ +1,

и, в частности, к

vs(L) = 0.

Иначе говоря, правдоподобность измеряет не ту степень приближения к истине, которой можно достичь, не делая никаких содержательных

21) См. Popper К. R. Conjectures and Refutations, Addendum 3, pp. 391-397.

высказываний (она измеряется нехваткой содержания или вероятностью), а приближение ко «всей истине» — через все большее и большее истинностное содержание. Я полагаю, что правдоподобность в этом смысле является более адекватной целью науки — особенно естественных наук, — чем истина, по двум причинам. Во-первых, потому, что мы не думаем, что L составляет цель науки, даже хотя L = Ьт. Во-вторых, потому, что мы можем предпочесть теории, которые считаем ложными, другим, даже истинным — таким как L, — если сочтем, что их истинностное содержание существенно превышает их ложностное содержание.

В этих заключительных разделах главы 9 я лишь кратко очертил программу сочетания теории истины Тарского с его исчислением систем с целью получить понятие правдоподобности, позволяющее нам говорить — без опасения говорить бессмыслицу — о теориях, являющихся лучшими или худшими приближениями к истине. Я, конечно, не предполагаю, что может существовать критерий применимости этого понятия — не более, чем может существовать такой критерий для понятия истины. Вместе с тем некоторым из нас (например, Эйнштейну) иногда хочется говорить такие вещи, как например что у нас есть основания предполагать, что эйнштейновская теория тяготения не истинна, но является лучшим приближением к истине, чем ньютоновская. Иметь возможность со спокойной совестью говорить подобные вещи кажется мне важным пожеланием к методологии естественных наук.

Добавление. Замечание к определению истины по Тарскому*

В своей знаменитой работе о понятии истины ^ Тарский описывает способ определения понятия истины или, точнее, понятия «х есть истин-

* Popper К. R. Addendum. A Note on Tarski's Definition on Truth. Это «Добавление» впервые опубликовано в журнале «Mind», vol. 64, N. S., 1955. Не считая замечаний в квадратных скобках, помеченных кое-где курсивов и нескольких незначительных стилистических поправок, я ограничился следующими изменениями: в соответствии с переводом Вуджера J956 г. классической работы Тарского об истине (см. далее прим. 1) я теперь говорю не «выполнять (fulfil)» и «выполнение (fulfilment)», а «удовлетворять (satisfy)» и «удовлетворение (satisfaction)», соответственно в Определении 22Ь я заменил прежнее «удовлетворяет» на «соблюдает». В последней строке текста настоящего «Добавления» я заменил слова «бесконечной последовательности» на «бесконечных последовательностей» и добавил номера страниц и другие ссылки на перевод Вуджера. [Все добавления даны в квадратных скобках]. В остальном это Добавление осталось таким, каким оно увидело свет.

') См. Tarski А. Der WahrheitsbegrifT in den formalisierten Sprachen // Studia Philosophica, Bd. I, 1935, S. 261 [англ. пер.: Tarski A. The Concept of Truth in Formalized Languages// TarskiA. Logic, Semantic, Metamathematics, 1956, paper VIII, pp. 152-278]. Как я понимаю, Тарский предпочитает переводить «Aussage» и «Aussagefunktion» как «sentence» («предложение») и «sentence-function» («сентенциальная функция») — термины, используемые в переводе логических работ Тарского на английский, выполненным профессором Вуджером, — тогда как я пользуюсь здесь терминами «высказывание (statement)» и «пропозициональная функция (statement function)». Перевод Вуджера должен быть вскоре опубликован издательством Clarendon Press в Оксфорде. [Эта книга вышла в 1956 году. Есть и еще несколько различий между моим переводом и переводом Вуджера].

ное высказывание (языка L)». Первоначально этот способ применялся к исчислению классов, но он может применяться в самом общем виде к самым разным (формализованным) языкам, включая языки, позволяющие формализовать некоторые эмпирические теории. Для этого способа характерно то, что определение «истинного высказывания» основывается на определении отношения удовлетворения (relation of satisfaction), или точнее — выражения «бесконечная последовательность / удовлетворяет пропозициональной функции X»²). Это отношение удовлетворения интересно само по себе, вне зависимости от того, что оно играет решающую роль в определении истины (и что шаг от определения удовлетворения к определению истины практически не представляет трудности). Предлагаемые мною замечания связаны с проблемой применения при определении удовлетворения конечных, а не бесконечных последовательностей. Это, по-моему, желательно с точки зрения применения данной теории к эмпирическим наукам, а также и с дидактической точки зрения. Сам Тарский кратко обсуждает два способа³⁾, связанные с применением конечных последовательностей переменной длины вместо бесконечных последовательностей, но он указывает и на некоторые недостатки этих альтернативных способов. Первый из них ведет к «значительным [или „довольно серьезным»] осложнениям» (ziemlich bedeutenden Komplikationen) при определении удовлетворения (Определение 22), в то время как недостаток второго состоит в «некоторой искусственности» (eine gewisse Kьnstlichkeit), поскольку он приводит к определению истины (Определение 23 [р. 195 англ. перевода]) с помощью понятия «пустой последовательности», или «последовательности нулевой длины»⁴⁾. В своих замечаниях я хочу обратить внимание на то, что сравнительно небольшое изменение процедуры Тарского позволяет нам оперировать с конечными последовательностями, не сталкиваясь с осложнениями или искусственностями (например, пустыми последовательностями), которые имел в виду Тарский. Этот способ позволяет нам сохранить весьма естественную процедуру, предусмотренную условием (6) Определения 22

2)См. Tarski А. Ibidem, S.311 [p. 193], S.313 [p. 195]. Заметим, что класс пропозициональных функций (или сентенциальных функций) включает класс высказываний, то есть замкнутых пропозициональных функций.

3) Первый из этих альтернативных способов очерчен Тарским в примечании 40 на S. 309 и далее [p. J91 англ. перевода, прим. 1]. (Там не говорится явно, что этот способ можно использовать для избежания бесконечных последовательностей, но ясно, что его можно для этого использовать). Второй метод описывается в примечании 43 на S. 313 и далее [р. 195 англ. перевода, прим. 1]. Способ, предложенный Тарским в этом примечании, технически слегка отличный от примененного Тарским в основном тексте, используется Карнапом в его «Введении в семантику» (Сатар R. Introduction to Semantics, 1942, pp.47 и далее [точнее pp. 45-48]). Хотя Карнап ссылается на Тарского, он упускает из вида то, что Тарский предвидел этот конкретный способ. (В прим. 7 на S. 368 [р. 245 англ. перевода, прим. 2] Тарский указывает еще и третий способ — очень простой, но безусловно в высшей степени искусственный в понимании Тарского; более того, этот способ относится только к определению истины как таковому, а не к определению выполнения [удовлетворения], которое интересно само по себе).

4) Карнап также использует это искусственное понятие.

Тарского (р. 193 англ. перевода), и таким образом избежать обходного пути, связанного с введением отношений — или свойств, — имеющих порядок, равный числу свободных переменных рассматриваемой пропозициональной функции. Предлагаемое мною изменение способа Тарского достаточно незначительно, но ввиду того, что Тарский ссылается на другие его варианты, имеющие значительные недостатки, а не на данный вариант, может быть, стоит описать и это небольшое улучшение⁵).

Для этой цели полезно будет неформально упомянуть, во-первых, понятие номера места п (place number n) (или n-го места) в конечной последовательности объектов, а во-вторых, понятия длины конечной последовательности /, то есть число мест в / (символически Np(f)), равное самому большому номеру места в ней, и сравнения конечных последовательностей по их длине. Упомянем, в-третьих, что объект может занимать в последовательности определенное место — скажем, п-е, — и тогда его можно назвать [n-м индивидом или] n-м объектом, или п-м членом рассматриваемой последовательности. Следует отметить, что один и тот же объект может занимать разные места в одной последовательности, так же как и в разных последовательностях⁶).

Как и Тарский, я использую символы «f\», «/2», ••♦, «Л», «/*»> — > «/„« в качестве имен объектов, занимающих первое, второе, г-е, fc-e, ..., п-е места в последовательности /. Я пользуюсь обозначениями Тарского, за тем исключением, что [по типографским соображениям] использую «РкУ» для обозначения обобщения [или квантификации по общности] выражения у попеременной v^. Принимается, что к Определению (П)⁸^

) Основное различие между моим способом и способами, предлагаемыми Тарским (упомянутыми ранее в прим. 3) состоит в следующем. Тарский предлагает ставить в соответствие данной функции (либо бесконечные последовательности, либо) конечные последовательности определенной (зависящей от данной функции) длины, в то время как я использую конечные последовательности «достаточной длины» (Определение 22а), то есть не слишком короткие для рассматриваемой функции. Соответственно, мои конечные последовательности могут быть любой длины (свыше определенного минимума, зависящего от рассматриваемой функции). Но допущение конечных функций любой длины (если этого достаточно для наших целей) не приводит ни к какой неоднозначности, поскольку мы легко получаем теорему (ср. Лемму А.Тарского на S. 317 [р. 198 англ. перевода]), согласно которой, если / удовлетворяет ж, то всякое д, являющееся расширением /, также удовлетворяет х (где д есть расширение /, если и только если для каждого /,• существует # такое, что д( — fi). Таким образом, эта теорема говорит, что нам достаточно рассматривать только самые короткие конечные последовательности из тех, которые адекватны рассматриваемой функции (конечно, всей рассматриваемой сложной функции, в отличие от ее компонентов).

6* Объекты (things) [так я называю их здесь; я мог бы называть их, как Тарский, «индивидами», если бы не то, быть может, слегка запутывающее обстоятельство, что «индивиды» Тарского представляют собой индивидуальные классы исчисления классов], рассматриваемые Тарским в этом разделе его работы, суть классы; учитывая сказанное Тарским в параграфах 4 и 5, я буду говорить здесь о «последовательностях объектов», а не о последовательностях классов, имея в виду, что для любых объектов Д и Д определено отношение вхождения /,- С Д.

1>} Ср. Определение 6 Тарского на S. 292 [р. 176 англ. перевода].

8) Tarski A. Jbidem, S. 294 [р. 178 англ. перевода]. Тарский явным образом определяет только выражение «переменная и*, входит свободно в пропозициональную функцию ж» [или «Vf. есть свободная переменная пропозициональной функции ж»].

Тарского добавлено Определение выражения «v_k входит в пропозициональную функцию х» — это предположение ни в коей мере не выводит нас за пределы методов Тарского и фактически в неявном виде присутствует в процедурах самого Тарского.

Теперь мы можем заменить Определение 22 Тарского [р. 193]. Мы заменим его двумя определениями — предварительным Определением 22а и Определением 22Ь, которое соответствует собственному определению Тарского.

Определение 22а. Конечная последовательность объектов / адекватна пропозициональной функции х (или достаточно длинна относительно х), если и только если

для каждого натурального числа п,

если v_n входит в ж, то число мест в / по крайней мере равно п (то есть Np(f) ^ п).

Определение 22Ь⁹\

Последовательность / удовлетворяет пропозициональной функции ж, если и только если

/ — конечная последовательность объектов, х — пропозициональная функция, и

(1) f адекватна x,

(2) х соблюдает одно из следующих четырех условий:

(а) Существуют натуральные числа г и к такие, что х — с_г^ и /, С /ь

(Я) Существует пропозициональная функция у такая, что х — у, и / не удовлетворяет у.

(7) Существуют две пропозициональные функции у a z такие, что х — у -f z и / удовлетворяет либо у, либо z, либо обеим.

(Ц) Существует натуральное число к и пропозициональная функция у такая, что

(a) х = Р_ку,

(b) любая конечная последовательность д, длина которой равна /, удовлетворяет у, если только д соблюдает следующее условие: для любого натурального числа п, если п — номер места в / и п Ф к, то д_п = Д.

9) Это в точности напоминает Определение 22 Тарского [р. 193], за исключением того, что к условию Тарского добавлен пункт (1) (чтобы заменить бесконечные последовательности конечными), и что наш пункт (6) содержит небольшое изменение, поскольку в нем говорится о длине / (и д). [Перевод «erfьllen» как «удовлетворять» имеет тот недостаток, что в определении выражения «/ удовлетворяет х» используется интуитивное представление о том, что «х соблюдает (то есть удовлетворяет) такие -то условия». Но эти два «удовлетворяет» технически совершенно различны, хотя интуитивно и очень близки. В немецком тексте на S. 311 не проводится никакого терминологического различия, но на S. 312 в сноске, соответствующей сноске 1 на р 193 английского издания, имеет место различие между «erfьllt» и «befriedigt». В Определении 22, конечно, нет никакого круга].

Теперь Определение 23 Тарского [р. 193] можно заменить любым из двух следующих эквивалентных¹⁰) определений:

Определение 23+. х — истинное высказывание (то есть х Е Wr), если и только если (а) х — высказывание (х Е As) и (Ь) любая конечная последовательность объектов, адекватная х, удовлетворяет х.

Определение 23++. х — истинное высказывание (то есть х Е Wr), если и только если (а) х — высказывание (х Е .As) и (Ь) существует по крайней мере одна конечная последовательность объектов, удовлетворяющая х.

Можно заметить, что Определение 23++ не требует предположения об адекватности упоминаемой последовательности. Можно также заметить, что в Определении 23+ (которое в точности соответствует определению Тарского) — но не в 23+Н--условие (а) можно заменить условием «х — пропозициональная функция», достигая тем самым определенного обобщения, в частности, на пропозициональные функции со свободными переменными, такими как, например, функция ц^, то есть на универсально-значимые (allgemeingьltige [верные для любой индивидуальной предметной области]) пропозициональные функции¹¹).