ТЕМА 2. Врахування фактора часу при оцінці грошей

1. Зміна вартості грошей у часу. Фактори знецінення грошей.

2. Суть дисконтування. Види дисконтування.

3. Облік врахування векселя.

4. Класифікація процентних ставок.

5. Дисконтування за складними процентними ставками (СРС).

6. Неперервні проценти.

7. Врахування інфляції у короткострокових та довгострокових фінансових операціях та в облікових операціях (СРС).

Одним з головних показників у фінансових розрахунках є відсоток. Під відсотком розуміють абсолютну величину доходів від грошей, наданих у борг у будь-якій їх формі. При укладанні угоди сторони (кредитор і боржник) домовляються про розмір відсотків, встановлюючи відношення суми відсоткових грошей, що виплачуються за одиницю часу, до величини позички.

Під відсотковою ставкою розуміють відношення відсоткових грошей, які виплачуються за фіксований відрізок часу, до величини позички. Відсоткова ставка виконує функції вимірювача ступеня дохідності фінансових операцій незалежно від того, тривав процес нарощення грошей чи ні. Відсоткова ставка як відносна величина вимірюється у математичних відсотках і коефіцієнтах. У всіх випадках фінансового аналізу відсоткова ставка використовується тільки у коефіцієнтах. Нарахування відсотків, як правило, відбувається дискретно, тобто через певні періоди. Відсотки можуть нараховуватися один раз на рік, кожні півроку, щоквартально або щомісячно.

Інтервал часу, до якого належить відсоткова ставка, називають періодом нарахування відсотків. Він може дорівнювати року, півріччю, кварталу, місяцю. Також існує неперервне нарахування відсотків. Такі відсотки мають назву неперервних. Їх нарахування відбувається за дуже малі проміжки часу. Необхідність використання неперервних відсотків полягає в тому, що багато економічних процесів мають неперервний характер, тому математичне моделювання їх за допомогою неперервних відсотків коректніше та адекватніше, ніж за допомогою дискретних відсотків. Головним чином це стосується опису складних виробничих процесів та явищ, що потребують обґрунтування і вибору інвестиційних рішень. На практиці такі відсотки використовуються дуже рідко.

Відсотки можуть нараховуватися наприкінці періоду (декурсивні відсотки) або на початку періоду (авансові відсотки).

Процес збільшення суми грошей у зв’язку з приєднанням відсотків до суми боргу називають нарощенням відсотків, або ростом початкової суми.

Ставка відсотків — це відсоткова ставка, яка визначається на основі початкової суми кредиту (початкова сума позички, боргу) і відсотки приєднуються в кінці окремих періодів або строку позички в цілому. Ставка відсотків може застосовуватися до однієї і тієї самої початкової суми протягом усього строку позички (прості відсоткові ставки) або до суми з нарахованими в попередньому періоді відсотками (складні відсоткові ставки).

Цю ставку визначають за такою формулою:

,

де і—ставка відсотків;

Р — початкова сума боргу, кредиту, позички;

n — кількість періодів нарахування відсотків або строк, на який надається позичка;

S — нарощена сума або величина позички разом з нарахованими відсотками;

І — відсотки за весь період позички, які визначаються за формулою I = P × i × n = S – P.

Інколи при нарахуванні відсотків за основу береться сума, яка виплачується боржником наприкінці строку позички. У такому разі застосовується облікова ставка і відсотки утримуються під час видачі позички. Облікова ставка — це відсоткова ставка, яка визначається на основі нарощеної суми позички. Ця ставка використовується при купівлі векселів і визначається за такою формулою:

,

де d — облікова ставка.

Отже, за методом нарахування відсотків розрізняють чотири види ставок: ставки відсотків та облікова ставка; прості та складні ставки відсотків.

Види відсоткових ставок:

1. Фіксовані (постійні або змінні);

2. Плаваючі (надбавка — маржа до базової ставки).

Фіксовані відсоткові ставки можуть установлюватися на весь строк кредиту (постійні) або в договорі домовляються про різні рівні відсоткових ставок на певні інтервали часу, але на весь строк угоди (змінні).

У зв’язку з несталістю грошового ринку замість фіксованих ставок використовують плаваючі ставки, які визначаються шляхом додавання до базової ставки фіксованої надбавки (маржі). Плаваюча ставка змінюється разом зі зміною економічної ситуації в країні. Маржа — це додаток до базової ставки у вигляді ставки відсотків, яка б забезпечувала необхідний рівень прибутковості інвестицій. Як базова ставка може бути прайм-рейт ставка, або лондонська міжбанківська ставка ЛІБОР (LIBOR — London interbank offered rate). Під ставкою прайм-рейт розуміють ставку, яка надається комерційними банками першокласним позичальникам, а також низка інших ставок аналогічного характеру.

Під нарощеною сумою позички розуміють початкову її суму разом з нарахованими на неї відсотками наприкінці закінчення строку позички.

Процес зміни суми боргу разом з нарахованими відсотками за простою ставкою відсотків можна уявити у вигляді арифметичної прогресії P, P + P × i, P + P × i + P × i і т. д. Перший член дорівнює Р, різниця Рі, останній член являє собою суму боргу S = P + P × i × n.

Сума, що накопичилась до кінця строку позички, складається з двох елементів — початкової суми боргу та відсотків:

S = P + I,

де І = P × i × n.

Нарощена сума визначається множенням початкової суми позички на множник нарощення, який показує, у скільки разів нарощена сума більша за початкову. Формула розрахунку множника нарощення залежить від виду застосовуваної відсоткової ставки та умов нарощення. Якщо при нарощенні використовується проста відсоткова ставка, то нарощену суму позички визначають за такою формулою:

S = P + I = P(1 + ni).

Величину S називають нарощеною сумою платежу, формулу — формулою нарощення за простими відсотками, а множник (1 + ni) — множником нарощення.

Якщо ставка відсотків змінюється з часом, тоді формула нарощення за простою фіксованою змінною ставкою розраховується таким чином:

,

де i_k — ставка простих відсотків для періоду k;

n_k — тривалість періоду k.

Як правило, прості відсотки використовуються в короткострокових фінансово-кредитних операціях, тобто коли строк позички менше одного року. Оскільки строк позички менше одного року, а відсоткова ставка встановлюється у розрахунку на один рік, виникає необхідність визначити, яка частина відсотків має бути заплачена кредитору.

Якщо q — кількість днів користування грошима протягом року; К — кількість днів у році (база року), тоді строк користування грошима в роках n можна подати таким чином:

.

Величини q та К можуть набувати різних числових значень. Кількість днів позички (q) обчислюють точно за календарем або наближено, коли вважають, що місяць, незалежно від того, скільки днів було за календарем, дорівнює 30 дням.

Це стосується також і бази для нарахування відсотків, тобто кількості днів у році. Її можна розрахувати точно, тобто за календарем (365 або 366 днів), або наближено, коли вважають, що рік — це 360 днів. Якщо рік складається з 360 днів, то у такому разі розраховують звичайні або комерційні відсотки. Якщо рік дорівнює кількості днів за календарем, то обчислюють точні відсотки.

Різні значення q та К приводять до різних результатів у нарахуванні простих відсотків. Для короткострокових фінансово-кредитних операцій в такому разі можна використовувати формулу простих відсотків у вигляді:

.

Тут можливі три варіанти розрахунку відсотків:

а) звичайні відсотки з наближеною кількістю днів позички, коли q наближене, а К = 360 днів. Такий метод нарахування відсотків дістав назву німецької методики нарахування відсотків. Він використовується, коли не потрібна велика точність при нарахуванні відсотків;

б) комерційні відсотки, коли q точне, а К дорівнює 360 днів. Цей метод нарахування відсотків найчастіше використовують при обліку векселів та інших операціях у комерційних банках. Цей метод нарахування відсотків іноді називають банківським, або французьким;

в) точні відсотки з точною кількістю днів позички, коли q точне, а К = 365 днів. Цей метод дає найточніші результати. У практиці він дістав назву англійський метод нарахування відсотків.

Іноді прості відсотки можуть використовуватися не лише у короткострокових операціях, а й довгострокових, коли відсотки нараховуються у споживчому кредиті, що, як правило, надається на кілька років.

При споживчому кредиті виникає завдання визначення величини разового платежу погашення. Цей платіж визначається, виходячи з суми кредиту і величини нарахованих відсотків. Погашення суми кредиту разом з нарахованими відсотками відбувається рівними частинами протягом усього строку кредиту. Величина платежу погашення (q) обчислюється за формулою:

,

де Р — ціна товару або сума кредиту;

m — кількість платежів на рік;

n — строк кредиту у роках;

і — проста річна ставка відсотків, під яку надано кредит;

q — сума одного платежу при погашенні.

Використовуючи таку методику погашення кредиту, фактична сума боргу постійно зменшується, а відсотки залишаються постійними протягом усього строку. У такому разі дійсна відсоткова ставка за споживчим кредитом виявиться більшою, ніж ставка за умовами кредиту.

У деяких випадках залежно від умов фінансової угоди виникає потреба визначення початкової суми боргу за заданою нарощеною сумою боргу S, відсотковою ставкою і і строком позички n. Завдання полягає в тому, що за відомою сумою S, яку необхідно сплатити через деякий час n, необхідно з’ясувати суму отриманої позички Р. Операцію такого характеру в фінансових розрахунках називають дисконтуванням, а різницю між нарощеною сумою S і початковою величиною Р — дисконтом.

Якщо відсотки утримуються безпосередньо при видачі позички, тоді застосовується облікова ставка. При використанні облікової ставки при видачі позички головним завданням є визначення початкової суми боргу (Р) або суми на будь-яку дату до моменту сплати нарощеної суми (S). У такому разі вважають, що сума дисконтується, а різницю S – P = D називають дисконтом.

Необхідність визначення P за S виникає під час купівлі банком векселів.

Існує два види дисконтування:

1) математичне дисконтування;

2) банківський облік.

До математичного дисконтування вдаються в тих випадках, коли за заданими S, n та i необхідно знайти Р.

,

де — дисконтний множник.

Величину Р, якщо вона знайдена за S, називають дисконтованою величиною S. Її також називають сучасною величиною платежу S або теперішньою вартістю.

Банківський, або комерційний, облік полягає в тому, що банк до кінцевої дати платежу за векселем або іншим короткостроковим зобов’язанням купує його у власника і бере на себе весь ризик по отриманню грошей. При цьому ціна, за якою банк купує вексель, повинна бути менша за ціну, що вказана на векселі. Таким чином, банк, продавши його векселедавцю, отримує дохід, реалізуючи тим самим дисконт.

Необхідність визначення дисконту виникає за різних фінансових операцій, зокрема при обліку векселів та інших короткострокових зобов’язань. При цьому звичайно застосовують не математичний, а банківський облік. Згідно з цим методом відсотки за користування позичкою розраховуються із суми, що належить виплаті в кінці строку позички. Ставка, за якою нараховані відсотки, називається обліковою, або дисконтною (d). Річні облікові ставки розраховуються за такою формулою:

тоді як

Звідси P = S(1 – nd).

Дисконт P = S – D = S – Sdn = S(1 – nd).

Величину (1-nd) — називають дисконтним множником, який показує, у скільки разів початкова величина Р менша за нарощену величину S.

Дисконтування за обліковою ставкою здійснюється, як правило, за умови, що рік — це 360 днів, а кількість днів у періоді беруть точним, тобто місяць дорівнює 30 дням незалежно від кількості днів у місяці за календарем.

Необхідно враховувати таку властивість простих облікових ставок: при n > 1/d величина Р буде від’ємною. З цієї суми банк може утримувати й комісійні за проведення операції.

Якщо необхідно на основі облікової ставки визначити суму, яку необхідно позначити на бланку векселя, тоді на основі початкової величини та облікової ставки визначають нарощену суму.

Формула нарощення за обліковою ставкою має такий вигляд:

де коефіцієнт 1/(1 – nd) є множником наростання, в основу якого покладена облікова ставка.

Часто при укладанні угод про кредитування виникає необхідність визначення строку, на який може бути надано кредит за відомої початкової величини, тобто суми, яку необхідно погасити в кінці строку, та рівнем відсоткової ставки.

Для визначення строку позички і рівня відсоткових ставок використовуються такі формули:

У довгострокових фінансово-кредитних операціях, якщо відсотки не виплачуються відразу після їх нарахування, а приєднуються до суми боргу, для визначення нарощеної суми позички застосовуються складні відсотки. База для нарахування складних відсотків не залишається постійною. Вона збільшується з кожним кроком у часі на величину приєднаних відсотків, нарахованих у попередньому періоді, а процес росту початкової суми позички прискорюється.

Студенти мають знати, що приєднання нарахованих відсотків до суми, яка була базою для їх визначення, часто називають капіталізацією відсотків.

Якщо відсотки нараховуються один раз у кінці року, то в кінці першого року нарощена сума дорівнює Р + Р × і, в кінці другого року Р(1 + і) + Р(1 + і)і = Р(1 + і)², до кінця третього року — Р(1 + і)³. Цей ряд являє собою геометричну прогресію Р, Р(1 + і), Р(1 + і)², Р(1 + і)³,..., перший член якої дорівнює початковій величині позички Р, а знаменник — (1 + і).

Нарощена сума являє собою член геометричної прогресії у відповідному році нарощення. Для n-го року нарощення член геометричної прогресії матиме вигляд Р(1 + і)ⁿ, який відповідає нарощеній сумі наприкінці строку позички.

Отже, нарахування складних відсотків здійснюється за такою формулою:

,

де S — нарощена сума платежу (боргу), P — початкова сума боргу, i — складна відсоткова ставка, n — число періодів нарахування відсотків.

Величину (1 + і)ⁿ — називають множником нарощення.

Якщо передбачаються зміни у часі, але застосовуються фіксовані (змінні) ставки відсотків, то формула наростання за складними відсотками матиме такий вигляд:

S = P(1 + i₁)ⁿ¹(1 + i₂)ⁿ²...(1 + i_k)^nk,

де i₁, i₂,..., i_k — це послідовні значення ставок відсотків; n₁, n₂,..., n_k — періоди, протягом яких здійснюється нарахування за відповідними ставками.

Використання в фінансових розрахунках простих і складних відсотків дає неоднакові результати, відмінність між якими зумовлюється строками позичок. Співвідношення значень множників нарощення дає можливість порівняти процеси нарощення за різними ставками відсотків, але при абсолютно однакових величинах.

Процес нарощення боргу за складною ставкою відсотків відбувається швидше, ніж за простою ставкою відсотків, коли строк нарахування більший від року (n >1). Якщо строк користування грошима n £ 1, то прості відсотки дають більший результат. Це випливає також з математичного доведення нерівностей: якщо n >1, то 1 + i_nn < (1 + i_c)ⁿ; якщо ’n = 1, то 1 + i_nn = (1 + i_c)ⁿ; якщо n < 1, то 1 + i_nn > (1 + i_c)ⁿ. При цьому слід враховувати однакову базу року у розрахунках.

Треба пам’ятати, що, порівнюючи процеси нарощення за складними та простими ставками відсотків, можна дійти висновку, що прості відсотки кредитору вигідно застосовувати при наданні короткострокових позичок, а складні — при наданні довгострокових позичок.

Іноді виникає завдання, коли ми маємо деяку суму грошей, але в майбутньому потрібна сума грошей, у N разів більша. Необхідно визначити, за скільки років (періодів) початкова сума збільшиться в N разів, якщо відома величина банківського відсотка та умови інвестування грошей. Для того, щоб розв’язати цю задачу, використовують так звані формули подвоєння. Вони застосовуються для визначення кількості років, за які початкова сума позички збільшиться в 2 (або N) разів.

Загальний випадок, коли необхідно визначити число років, протягом яких початкова сума збільшиться в N разів:

а) для простих відсотків: ;

б) для складних відсотків:

N = 2:

а) подвоєння за простими відсотками:

б) подвоєння за складними відсотками:

Необхідно звернути увагу на особливості нарахування відсотків при дрібному числі років.

У випадках, коли n не є цілим числом, тобто складається з цілої і дробової частин, нарощення визначається двома способами: за формулою нарощення складних відсотків і на основі змішаного методу, згідно з яким за ціле число років нараховуються складні відсотки, а за дробове — прості:

S = P(1 + i)^a(1 + bi),

де n = a + b, a — ціле число років, b — дробова частка року.

Як правило, відсотки прийнято капіталізувати не раз на рік, а кілька разів. Число разів нарахування відсотків на рік позначимо літерою m. Річна ставка відсотків, яка називається номінальною, позначається j. Тоді в кожному окремому періоді нараховується j/m — ставка відсотків. Нарощену суму визначають за формулою:

S = P(1 + j/m)^mn.

Збільшення m призводить до більш швидкого процесу нарощення. Це трапляється тому, що відсотки нараховуються частіше і реальний відносний дохід, який отримує кредитор, виявляється більшим, ніж номінальна ставка відсотків. Для того, щоб виміряти ефективність цієї операції використовують ефективну, або дійсну, ставку відсотків.

Ефективна (дійсна) ставка відсотків відображає той реальний дохід, який одержують від однієї грошової одиниці на рік. Вона показує, яка річна ставка дає той самий фінансовий результат, що і m-разові нарахування на рік за ставкою j/m. Цю ставку можна знайти, виходячи з її визначення. Через те, що вона призводить до одного і того ж фінансового результату, що і ставка j/m при m-разовому нарахуванні відсотків на рік, то множники нарощення по цих ставках повинні бути рівні.

Отже, можна записати таке рівняння:

(1 + і)ⁿ = (1 + j/m)^{n × m}

Звідси — ефективна ставка відсотків визначається за такою формулою:

i = (1 + j/m)^m – 1.

Якщо необхідно визначити на основі ефективної ставки номінальну, то можна використати таку формулу:

j = m((1 + i)^1/m – 1).

Ця ситуація може виникнути тоді, коли кредитор хоче отримати дохідність за рік у розмірі і і нараховуються відсотки m разів на рік і йому необхідно проставити в угоді річну ставку відсотків j.

При використанні складної ставки відсотків сучасну величину знаходять за такою формулою:

де — множник дисконтування.

Величину P, якщо вона визначена за S, називають дисконтованою величиною S. Її також називають сучасною величиною платежу S або теперішньою вартістю.

Величину Vⁿ називають обліковим, або дисконтованим, множником.

Якщо відсотки нараховуються m разів на рік, формула матиме такий вигляд:

Дисконтний множник дорівнює:

.

Величина P характеризує ту початкову суму, нарахування відсотків на яку дає величину S. Суми P i S пов’язані між собою строком і відсотковою ставкою та еквівалентні: платіж S через n років рівноцінний сумі P, яка виплачується в теперішній час. Різницю S—P називають дисконтом:

.

Співвідношення дисконтних множників (проста й складна відсоткові ставки):

для строку менше року — (1 + ni_n)^–1 < (1 + i_c)^–n;

для строку понад рік — (1 + ni_n)^–1 > (1 + i_c)^–n.

Коли в практиці облікових операцій використовують складну облікову ставку, то процес дисконтування здійснюється з уповільненням, адже на кожному кроці в часі облікова ставка застосовується не до початкової суми, а до суми, зменшеної на величину дисконту, визначеного на попередньому кроці. Дисконтування за складною обліковою ставкою здійснюється за формулою:

,

де d_c — складна облікова ставка;

S — сума майбутніх платежів, на яку нараховується відсоткова ставка;

(1 – d_c)ⁿ — множник дисконтування.

Дисконт у такому разі такий:

Дисконтування за складною обліковою ставкою зумовлює вигідніший для боржника результат, ніж при дисконтуванні за простою обліковою ставкою, тому що боржник отримає більш велику суму Р.

Дисконтування m разів на рік.

У такому разі використовують номінальну облікову ставку f. У кожному періоді дисконтування здійснюється за ставкою f/m:

P = S(1 – f/m)^mn,

де mn — загальна кількість періодів дисконтування.

Дисконтування не один, а m разів на рік уповільнює цей процес і зменшує суму дисконту за всіх інших рівних умов. Дисконтування за складною обліковою ставкою призводить до результату, вигіднішого для боржника, ніж при дисконтуванні за простою обліковою ставкою.

Під ефективною обліковою ставкою розуміють складну річну облікову ставку, еквівалентну номінальній при заданому значенні числа дисконтування на рік:

Ефективна облікова ставка менша за номінальну.

Наростання за складною обліковою ставкою:

Для розрахунку нарощеної суми і дисконтування застосовувались різні види відсоткових ставок: i_n, i, j, d, d_c, f.

За однакових умов угоди їх використання призведе до різних результатів. Треба порівняти результати наростання і дисконтування за різними видами відсоткових ставок. Для розв’язання цієї задачі достатньо порівняти множники наростання і дисконтні множники.

Результати порівняння залежать від числа періодів нарахування відсотків.

Для множників наростання:

;

Для дисконтних множників:

У ряді випадків, головним чином при розробці умов фінансових операцій, зустрічаються з необхідністю розв’язання зворотних задач — визначення довготривалості позичок, числа періодів наростання, ставки відсотків або облікової ставки.

Знаходження відсоткових ставок.

1. Для простої відсоткової ставки:

2. При наростанні за складною річною ставкою:

3. При наростанні за номінальною ставкою відсотків m разів на рік:

4. При дисконтуванні за простою обліковою ставкою:

5. При дисконтуванні за складною обліковою ставкою:

6. При дисконтуванні за номінальною обліковою ставкою m разів на рік:

Визначення строку позички:

1. За простою ставкою відсотків:

2. За складною ставкою відсотків:

3. При наростанні за номінальною ставкою відсотків j/m разів на рік:

4. При дисконтуванні за простою обліковою ставкою:

5. При дисконтуванні за складною обліковою ставкою:

6. При дисконтуванні за номінальною обліковою ставкою m разів на рік:

При визначенні нарощеної суми грошей, а також реальної ставки відсотків необхідно враховувати розмір інфляції.

Основним показником, що характеризує динаміку інфляційних процесів, є індекс купівельної спроможності грошей:

, тоді ,

де — реальна нарощена сума, S — нарощена сума за n років;

,

де t — темп інфляції;