Перетворення Фур’є. Спектральні характеристики сигналів.

Якщо період сигналу збільшувати до нескінченності, то кількість гармонік ряду Фур’є сигналу

(1.22)

збільшуватиметься, по частоті вони наближатимуться одна до одної і у кінці кінців сума у правій частині (1.22) перетвориться в інтеграл

. (1.23)

Сукупність коефіцієнтів Фур’є у разі періодичного сигналу переходить у неперервну функцію частоти X(jw) для неперіодичного сигналу, яка називається комплексною спектральною функцією, або комплексним спектром сигналу.

По аналогії з коефіцієнтами Фур’є періодичного сигналу,

(1.24)

комплексний спектр Фур’є неперіодичного сигналу визначається за формулою

. (1.25)

Інтегральне перетворення (1.25) називається прямим перетвореннямФур’є і позначається X(jw)=F[x(t)], а (1.23) — оберненим перетворенням Фур’є і позначається x(t)=F^-1[X(jw)].

Для неперіодичного сигналу теорема Парсеваля має вигляд

(1.26)

Величина Е називається енергією сигналу.

Функція X(jw) є комплексною і може бути представлена дійсною Re[X(jw)] і уявною Im[X(jw)] частинами, а також модулем

, (1.27)

який називають амплітудним спектром сигналу x(t) і аргументом комплексної функції

, (1.28)

який називають фазовим спектром сигналу x(t).

Інтегральне перетворення Фур’є має такі властивості.

1. Оскільки x(t) — дійсна функція часу, то комплексний спектр сигналу має комплексно сполучену симетрію, тобто

(1.29)

Звідси випливає, що

, (1.30)

тобто дійсна частина комплексного спектру сигналу є парною функцією, а уявна — непарною.

2. Властивість лінійності

(1.31)

4. Зміна масштабу аргументу

(1.32)

4. Затримка у часі

(1.33)

5. Диференціювання сигналу

(1.34)

6. Інтегрування сигналу

(1.35)

7. Згортка сигналів

(1.36)

8. Добуток сигналів

(1.37)

Знайдемо комплексні спектри деяких сигналів, виконавши перетворення Фур’є цих сигналів.

Приклад 1.1 Сигнал прямокутної форми одиничної амплітуди тривалістю Т (рис. 1.7)

. (1.38)

Виконаємо перетворення Фур’є цього сигналу

. (1.39)

На рис. 1.7 б представлено комплексний спектр цього сигналу.

Приклад 1.2 Сигнал трикутної форми одиничної амплітуди тривалістю 2Т (рис. 1.8)

. (1.40)

Неперіодичний сигнал трикутної форми можна представити як згортку двох однакових сигналів прямокутної форми (1.) одиничної амплітуди тривалістю Т, тому використовуючи властивість 7 про згортку сигналів перетворення Фур’є сигналу трикутної форми дорівнює добутку перетворень Фур’є двох однакових сигналів прямокутної форми, тобто

. (1.41)

Комплексний спектр сигналу трикутної форми представлений на рис. 1.8 б.

Приклад 1.3 Сигнал у вигляді комплексної експоненти

. (1.42)

має комплексний спектр у вигляді d-функції на частоті w₀

. (1.43)

Приклад 1.4 Якщо сигнал є постійною величиною

. (1.44)

то комплексний спектр такого сигналу є d-функція на нульовій частоті

. (1.45)

Приклад 1.5 Комплексним спектр синусоїдного сигналу з амплітудою Х_m і циклічною частотою w₀

(1.46)

складається з двох d-функція, розміщених на частотах w₀ і − w₀.

. (1.47)

Аналогічно, для косинусоїдного сигналу

(1.48)

комплексний спектр також має дві складові у вигляді

. (1.49)