Задача 7. Метод математической индукции.

Метод математической индукции.

Докажите, что при любых натуральных n:

а) 2 ^{5n+ 1} + 5 ^{n + 2} делится на 27;

б) 2 ^{3n + 3} – 7n + 41 делится на 49;

в) 5ⁿ⁺³ + 11³ⁿ⁺¹, делится на17

2. Докажите следующие равенства:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

3. Постройте в декартовой системе координат: А , , , где А= , B= .

4. Доказать

Определения:

1. является подмножеством множества , то есть , то есть каждый элемент обладает свойством .

2. , то есть является подмножеством любого множества.

3. Множества и равны, то есть , и .

4. является строгим подмножеством множества , будем обозначать это , и .

Задача 7

Доказать равенство .

Доказательство:

Для доказательства равенства докажем два утверждения:

1. ,

2. .

Докажем первое утверждение:

Пусть , тогда и . Если и , тогда , следовательно . Если и , тогда , следовательно .

Докажем второе утверждение:

Пусть , тогда или . Если , тогда и , следовательно и , тогда . Аналогично доказывается для случая .

Доказать равенство .

Доказательство:

Для доказательства равенства докажем два утверждения:

3. ,

4. .

Докажем первое утверждение:

Пусть , тогда и . Если и , тогда , следовательно . Если и , тогда , следовательно .

Докажем второе утверждение:

Пусть , тогда или . Если , тогда и , следовательно и , тогда . Аналогично доказывается для случая .