Физические принципы против логических структур

Много лет я убеждался в том, что математика и физика подчиняются определенной диалектике взаимоотношений. Физика — не просто бессмысленная, произвольная последовательность диаграмм Фейнмана и симметрий, а математика — не просто набор беспорядочных уравнений: скорее, физика и математика образуют симбиоз.

Я считаю, что физика в конечном счете опирается на небольшой набор физических принципов. В общем случае эти принципы можно выразить обычным языком, не обращаясь к математике. Основные физические принципы, начиная с теории Коперника и ньютоновских законов движения и вплоть до теории относительности Эйнштейна, можно изложить всего в нескольких предложениях, не прибегая к математике. Примечательно, что всего нескольких фундаментальных физических принципов достаточно, чтобы обобщить основной объем современной физики.

В отличие от физики математика — набор всех возможных самосогласованных структур, причем логических структур существует гораздо больше, чем физических принципов. Отличительная особенность любой математической системы (арифметики, алгебры, геометрии) — то, что ее аксиомы и теоремы согласуются друг с другом. Математики следят главным образом за тем, чтобы эти системы ни в коем случае не вступали в противоречие, и в меньшей степени заинтересованы в обсуждении сравнительных преимуществ одной системы перед другой. Любая самосогласованная структура из множества достойна изучения. В итоге математика гораздо более фрагментирована, чем физика; математики, специализирующиеся в одной области, обычно работают обособленно от математиков, специализирующихся в другой.

Взаимоотношения между физикой (основанной на физических принципах) и математикой (основанной на самосогласованных структурах) теперь очевидны: для решения физического принципа физикам может потребоваться много самосогласованных структур. Таким образом, физика автоматически объединяет многие обособленные направления математики. Если рассматривать ситуацию в таком свете, можно понять, как развиваются значительные идеи в теоретической физике. К примеру, и математики, и физики утверждают, что Исаак Ньютон — один из титанов именно в той науке, которой занимаются и они. Однако Ньютон начал изучать гравитацию не с математики. Рассматривая движение падающих тел, он пришел к выводу, что Луна постоянно падает на Землю, но не сталкивается с ней, потому что Земля под ней искривлена; кривизна Земли компенсирует падение Луны. В результате он пришел к постулированию физического принципа — закону всемирного тяготения.

Но поскольку решить уравнения гравитации Ньютон затруднялся, он приступил к 30-летнему процессу создания с нуля математических методов, достаточно эффективных для решения этих уравнений. По ходу дела он обнаружил множество самосогласованных структур, получивших общее название «исчисления» (calculus). В этом случае физический принцип появился первым (закон гравитации), а затем были разработаны разнообразные самосогласованные структуры, необходимые для решения (такие как аналитическая геометрия, дифференциальные уравнения, производные и интегралы). Физический принцип объединил эти разнообразные самосогласованные структуры в связный математический корпус (calculus).

Те же соображения о взаимосвязи применимы к теории относительности Эйнштейна. Он начал с физических принципов (таких как постоянство скорости света и принцип эквивалентности для гравитации), а затем нашел в математической литературе самосогласованные структуры (группы Ли, риманов тензор, дифференциальную геометрию), благодаря которым вывел решение для этих принципов. Между делом Эйнштейн выяснил, как объединить отдельные направления математики в связную картину.

В теории струн прослеживается та же закономерность, но совершенно иным образом. Ввиду своей математической сложности теория струн связала заметно различающиеся ветви математики (поверхности Римана, алгебру Каца-Муди, супералгебры Ли, конечные группы, модулярные функции и алгебраическую топологию), удивив математиков. Как и в случае других физических теорий, она автоматически выявляет взаимосвязь между разными самосогласованными структурами. Но физический принцип, лежащий в основе теории струн, неизвестен. Физики надеются, что, как только этот принцип будет открыт, появятся и новые направления математики. Другими словами, причина, по которой теория струн до сих пор не имеет решения, заключается в том, что математику XXI в. еще не открыли.

Один из выводов, вытекающих из этой формулировки, состоит в том, что физический принцип, объединяющий много малых физических теорий, должен автоматически объединять многие, на первый взгляд не связанные между собой направления математики. Именно эту задачу и выполняет теория струн. В сущности, из всех физических концепций теория струн объединяет наибольшее количество направлений математики в общую картину. Вероятно, одним из побочных продуктов стремления физиков к объединению станет объединение еще и математики.

Разумеется, набор логически согласованных математических структур во много раз больше набора физических принципов. Следовательно, некоторые математические структуры, такие как теория чисел (которую некоторые математики называют самым чистым направлением своей науки), так и не вошли ни в какую физическую теорию. Кое-кто утверждает, что положение таким и останется: скорее всего, человеческий разум навсегда сохранит способность изобретать логически согласующиеся структуры, которые нельзя выразить посредством физического принципа. Но, судя по некоторым признакам, теория струн вскоре может включить теорию чисел в свою структуру.