Лекция 8. Уравнение Гамильтона-Якоби.

Метод Якоби интегрирования уравнений движения.

После того как написаны дифференциальные уравнения движения, встает вопрос об их интегрировании. Для этой цели Гамильтоном и Якоби развит эффективный метод интегрирования уравнений. Схема этого метода заключает в себе три последовательных этапа. Прежде необходимо найти возможно более простую форму дифференциальных уравнений движения. Эта форма найдена в канонических уравнениях движения. Затем необходимо установить общие законы преобразования таких уравнений, при которых они сохраняют свою форму. Такими законами являются канонические преобразования и теория важнейших их инвариантов. Наконец, надо развить собственно теорию интегрирования системы канонических уравнений. Решение этой задачи и привело к установлению и интегрированию уравнения в частных производных Гамильтона-Якоби.

Теория канонических преобразований приводит нас к методу интегрирования канонической системы уравнений движения.

При наличии стационарных связей и всех обобщенных циклических координат можно сразу записать первые интегралы, минуя составление и интегрирование канонических уравнений. В связи с этим возникает задача о каноническом преобразовании, т.е. о переходе от одних переменных к другим, упрощающих интегрирование канонических уравнений. Для канонического преобразования надо выбрать производящую функцию, зависящую от старых и новых обобщенных координат:

При наличии производящей функции для новой функции Гамильтона H` имеет место

,

а старые и новые переменные связаны зависимостями

, )

Производя вычисления по формулам (3), получим

Решив эту систему уравнений относительно новых переменных, получим

, .

Поставим задачу об отыскании производящей функции, которая позволила бы перейти от переменных q_i и p_i к новым постоянным координатам a_i и постоянным импульсам b_i. Подобное преобразование привело бы к зависимостям старых переменных q_i и p_i от времени и от постоянных a_i и b_i., т.е. дало бы возможность, минуя интегрирование, найти первые интегралы канонических уравнений.

Если функция S выбрана так, что , то уравнения Гамильтона в новых переменных сразу интегрируются:

, , где a_i и b_i- произвольные постоянные.

Для определения производящей функции надо решить уравнение Гамильтона-Якоби .

Из уравнения (2) находится зависимость исходных переменных от времени t и 2n произвольных постоянных a_i и b_i.:

, . (6)

Функция S, согласно (2) и (3), должна удовлетворять уравнению (7).

Это уравнение в частных производных называется уравнением Гамильтона=Якоби.

Его решение , зависящее от n произвольных постоянных a_I, называют полным интегралом уравнения Гамильтона-Якоби.

Таким образом, мы получаем следующий способ интегрирования уравнения движения (1), основанный на рассмотрении уравнения (7).

Теорема. Если - полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби, содержащий n произвольных постоянных a_i, то решение уравнения находится из соотношений , , где и - произвольные постоянные.

Эта теорема позволяет свести интегрирование системы канонических дифференциальных уравнений к нахождению полного интеграла уравнения в частных производных Гамильтона-Якоби.

Таким образом, знание полного интеграла уравнения в частных производных избавляет нас от необходимости интегрировать систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача интегрирования этой системы заменяется эквивалентной задачей отыскания полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби в частных производных.

Метод Якоби является весьма эффективным среди существующих методов нахождения точных решений системы уравнений Гамильтона. Общего метода нахождения полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби при произвольной функции Гамильтона не существует.