Разделение переменных.

Эффективным методом нахождения полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби является метод разделения переменных. Этот метод применим в тех случаях, когда уравнение Гамильтона-Якоби имеет специальную структуру.

Рассмотрим случай, когда в функцию Гамильтона входят сопряженные переменные в виде функции , т.е., .

Такая структура функции Гамильтона дает возможность упростить интегрирование уравнения Гамильтона-Якоби методом разделения переменных. Это уравнение в данном случае имеет вид

Если в искомой производящей функции отделить переменную . т.е., записать в виде

, то уравнение Гамильтона-Якоби приводится к двум уравнениям

, .

Первое дифференциальное уравнение является обыкновенным, а во втором уравнении число переменных уменьшено на единицу. Тем самым упрощается его интегрирование.

После этого остается дифференциальное уравнение в частных производных, но уже с меньшим числом независимых переменных.

Частным случаем разделения переменных является случай циклических координат. Циклическая координата q₁ не входит в явном виде в функцию Гамильтона, а поэтому и в уравнение Гамильтона-Якоби.

Так если имеется l циклических координат q₁,..,q_l где l<s, то искомую производящую функцию можно записать в виде

(12)

Для определения надо решить уравнение Гамильтона-Якоби

(13)

В этом уравнении число переменных уменьшилось на число l циклических координат.

Если таким способом можно последовательно отделить все s координат и время, то нахождение полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби целиком сводится к квадратурам.

Если связи стационарны, то функция Гамильтона от времени явно не зависит и полная механическая энергия h=T+P является одним из первых интегралов канонических уравнений. В этом случае производящую функцию S можно записать в виде

, (14)

где роль a_s играет полная механическая энергия h.

Для определения функции S₀ надо решить следующее уравнении Гамильтона-Якоби

. Решение уравнения имеет вид

, i = 1, 2, …, s;

, i = 1, 2, …, s; . Заметим, что 2s уравнений не содержат явно времени. Они называются уравнениями траектории. Другие два уравнения, содержащие явно время, иногда называют уравнение движения по траектории (напомним, что уравнения Лагранжа 2-го рода не дают возможности непосредственно отдельно получить уравнения траектории и уравнения движения. В этом состоит преимущество канонических уравнений). В уравнениях содержатся 2s постоянных интегрирования a₁, a₂, …, a_s-1 , b₁, b₂, .., b_s. Для их определения должны быть заданы 2s начальных условий движения: при t=0 дано q_i = q_i0, p_i = p_i0 , где i = 1, 2, …, s.

Если при наличии циклических координат система также консервативна, то производящая функция имеет вид

.

В этом случае для определения надо решить уравнение Гамильтона-Якоби

.

Уравнение содержит только s-l переменных.

Наконец, если система консервативна и все обобщенные координаты, кроме одной являются циклическими, то

(18)

При этом уравнение в частных производных (17) превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение

. (19)

____________________________________________________________________________