Правила сложения дисперсии.

Позволяет выявить влияние вариации одного признака на вариацию другого и количественно оценить силу влияния этих признаков (тесноту связи).

- общая средняя

- общая дисперсия

то есть вариация исследуемого признака может быть представлена как сумма вариаций в отдельных группах относительно групповых средних и групповых средних относительных общих средних. Поэтому общая дисперсия может быть представлена как сумма дисперсий

- внутригрупповая

- средняя из внутригрупповых

- межгрупповая

Правило сложения дисперсии заключается в следующем: общая дисперсия равна сумме межгрупповой дисперсии и средней из внутригрупповых дисперсий.

На основе правила сложения дисперсий могут быть получены следующие показатели:

1) Коэффициент детерминации.

- характеризует влияние вариации группировочного признака на вариацию исследуемого признака.

2) Эмпирическое корреляционное отношение (этта)

характеризует степень влияния вариации группировочного признака на вариацию исследуемого (тесноту связи группировочного признака)

- может принимать значение от 0 до 1.

Если = 0, то вариации исследуемого признака совершенно не зависит от вариации группировочного признака (уровня образования).

Если = 1, то вариации исследуемого признака полностью обусловлено вариацией от первого группировочного признака.

При промежуточных значениях пользуются шкалой Чеддока.

Если принимает значения:

0 – 0.3 – связь между признаками отсутствует.

0.3 – 0.5 – связь слабая.

0.5 – 0.7 – умеренная

0.7 – 1 – сильная.

Тема 1.8. Выборочное наблюдение

Выборочнымназывается один из видов несплошного наблюдения, при котором характеристика всей совокупности единиц дается по некоторой их части, отобранной в случайном порядке.

Реализация выборочного метода базируется на понятиях генераль­ной и выборочной совокупностей.

Генеральной совокупностьюназывается вся исходная изучаемая статистическая совокупность, из которой на основе отбора единиц или групп единиц формируется выборочная совокупность. Поэтому генеральную совокупность также называют основой выборки.

При выборочном наблюдении имеют дело с двумя категориями обобщающих показателей: долей и средней величиной.

Доля дает характеристику совокупности по альтернативно варьирующему признаку и исчисляется как отношение числа единиц совокупности, обладающих интересующим нас признаком, к общему числу единиц совокупности. Задача выборочного наблюдения в данном случае состоит в том, чтобы на основе измерения выборочной доли дать правильное представление о доле в генеральной совокупности.

Средняя величина характеризует типичное значение варьирующего признака, вариация которого проявляется в различных количественных значениях у отдельных единиц совокупности. Задача выборочного наблюдения в данном случае заключается в том, чтобы на основе выборочной средней дать правильное представление о генеральной средней.

При выборочном наблюдении, как и при любом другом, возможно возникновение ошибок, которые можно разделить на ошибки регистрации и ошибки репрезентативности, систематические и случайные.

Ошибки регистрации являются следствием неправильного уста­новления значения наблюдаемого признака или неправильной запи­си. Они свойственны не только выборочному, но и сплошному на­блюдению.

Ошибки репрезентативности (ошибки выборки) обусловлены тем, что выборочная совокупность не может по всем параметрам в точности воспроизвес­ти генеральную совокупность. Получаемые расхождения называют­ся ошибками репрезентативности, или представительности, так как они отражают, в какой степени попавшие в выборку единицы могут представлять всю генеральную совокупность. При этом следует раз­личать систематические и случайные ошибки репрезентативности.

Систематические ошибки репрезентативности связаны с нару­шением принципов формирования выборочной совокупности.

Случайные ошибки репрезентативности обусловлены действием случайных факторов, не содержащих каких-либо элементов систем­ности в направлении воздействия на рассчитываемые выборочные характеристики.

Ошибка выборки, или отклонение выборочной средней от сред­ней генеральной, находится в прямой зависимости от дисперсии изу­чаемого признака в генеральной совокупности и в обратной зависи­мости от объема выборки.

Зависимость величины ошибки выборки от ее численности и от степени варьирования признака находит выражение в формулах средней ошибки выборки – среднем отклонении характеристик выборочной совокупности от аналогичных характеристик генеральной совокупности:

Средняя ошибка выборочной средней: .

Средняя ошибка выборочной доли: .

Однако то, что генеральная средняя или генеральная доля не выйдет за определенные пределы, можно утверждать не с абсолютной достоверностью, а лишь с определенной степенью вероятности, для чего рассчитывается предельная ошибка выборки:

,

где t – коэффициент доверия (коэффициент кратности ошибки), зависящий от вероятности, с которой можно гарантировать, что предельная ошибка не превысит t-кратную среднюю ошибку. Коэффициент доверия t определяется по таблице распределения вероятностей (например, вероятности р = 0,683 соответствует t = 1; вероятности р = 0,954 соответствует t = 2; вероятности р = 0,997 соответствует t = 3).

Распространение показателей выборочной совокупности на генеральную совокупность.

После исчисления предельных ошибок выборки находят доверительные интервалы для генеральных показателей, т.е. границы, в которых будут находиться значения изучаемых характеристик в генеральной совокупности.

Для генеральной средней пределы устанавливаются с учетом предельной ошибки выборочной средней:

или

Для генеральной доли пределы устанавливаются с учетом предельной ошибки выборочной доли:

или

Отбор единиц в выборочную совокупность может быть повтор­ным или бесповторным.

При повторном отборе попавшая в выборку единица подверга­ется обследованию, т.е. регистрации значений ее признаков, возвра­щается в генеральную совокупность и наравне с другими единицами участвует в дальнейшей процедуре отбора. Таким образом, некоторые единицы могут попадать в выборку дважды, трижды или даже боль­шее число раз. И при изучении выборочной совокупности они будут рассматриваться как отдельные независимые наблюдения.

При бесповторном отборе попавшая в выборку единица подвер­гается обследованию и в дальнейшей процедуре отбора не участвует. Такой отбор целесообразен и практически возможен в тех случаях, когда объем генеральной совокупности четко определен. Получаемые при этом результаты, как правило, являются более точными по срав­нению с результатами, основанными на повторной выборке (ошибка выборки при бесповторном отборе всегда будет меньше, чем при повторном отборе).

Таким образом, при бесповторной выборке численность единиц генеральной совокупности в процессе отбора сокращается, и при определении ошибки выборки формула корректируется на долю отобранных единиц в генеральной совокупности (n / N):

(для средней)

(для доли)

Нерайонированный отбор – отбор из всей генеральной совокупности, не разделенной на части.

Районированный отбор – единицы в выборочную совокупность отбираются не из всей генеральной совокупности, а из отдельных ее частей (групп), на которые она предварительно разбивается. Разбивка генеральной совокупности на группы часто осуществляется по реально существующему разделению совокупности на отдельные части (например, разделение студентов института по факультетам, работников предприятия по цехам), но иногда специально образуют группы по признакам, влияющим на вариацию изучаемых показателей (выделяют типы). Такой отбор называется типическим.

Собственно-случайный отбор – бесповторная нерайонированная выборка, при которой каждая единица совокупности имеет равную возможность попасть в выборочную совокупность (лотерея, жеребьевка).

Механический отбор – районированный или нерайонированный отбор единиц из генеральной совокупности по списку, не влияющему на результаты выборки, при котором отбирается каждая i-я единица совокупности: .

Теоретически средняя ошибка выборки при районированном механическом отборе определяется по формуле ошибки типического отбора. Однако если генеральная совокупность разбита на группы по строго нейтральному группировочному признаку в отношении изучаемого показателя, то средняя внутригрупповых дисперсий будет равна общей дисперсии:

.

Поэтому и при механическом отборе применяют те же формулы ошибки выборки, что и при собственно-случайном отборе. Однако механический отбор имеет преимущество перед собственно-случайным: его не только легче организовать, но при нем единицы совокупности равномернее распределяются в генеральной.

Многоступенчатая выборка – типический отбор в сочетании с несколькими стадиями отбора, при этом каждая стадия имеет свою единицу отбора. Ошибки многоступенчатой выборки складываются из ошибок на отдельных стадиях отбора.

Многофазная выборка – отличается от многоступенчатой тем, что на всех ступенях выборки сохраняется одна и та же единица отбора.

Серийная выборка – производится случайный отбор не отдельных единиц совокупности, а целых серий. Внутри отобранных серий сплошное обследование всех единиц. Ошибка выборки при серийном отборе определяется на основе межсерийной (межгрупповой) дисперсии (d²):

Для средней –

(повторный отбор)

(бесповторный отбор)

Для доли -

(повторный отбор)

(бесповторный отбор)

где r – число отобранных серий;

R – число серий в генеральной совокупности;

- межсерийная дисперсия средних;

- межсерийная дисперсия доли.

Малая выборка – такое выборочное наблюдение, численность единиц которого не превышает 20 (согласно другому определению: численность выборки не превышает 1% от генеральной совокупности).

Средняя ошибка малой выборки исчисляется по формуле:

,

где – дисперсия в малой выборке: .

Предельная ошибка малой выборки имеет обычный вид:

Расчет необходимого объема выборки предполагает, что организаторы выборочного наблюдения уже на этапе его проектирования располагают по крайней мере косвенными данными о вариации изучаемых признаков.

Формулы расчета необходимой численности случайной и механической выборки приведены в таблице 5.

Таблица 5

Определение необходимой численности выборки

Виды выборки	Для средней	Для доли
Повторная
Бесповторная

Тема 1.9. Статистическое изучение взаимосвязи

социально-экономических явлений

Исследование объективно существующих связей между явления­ми – важнейшая задача общей теории статистики. В процессе статистического исследования зависимостей вскрываются причинно-след­ственные отношения между явлениями, что позволяет выявлять факторы (признаки), оказывающие существенное влияние на вариа­цию изучаемых явлений и процессов.

Причинно-следственные от­ношения– это связь явлений и процессов, при которой изменение одного из них (причины) ведет к изменению другого (следствия).

Признаки по значению для изучения взаимосвязи делятся на два класса. Признаки, обуслав­ливающие изменения других, связанных с ними признаков, называ­ются факторными, или просто факторами (х). Признаки, изменяющие­ся под действием факторных признаков, являются результативными (у).

Различают 3 основных вида статистических взаимосвязей:

1) Балансовые (система показателей, представляющая собой равенство двух частей, состоящих из отдельных элементов). Например:

Начальный остаток + Поступление = Расход + Конечный остаток

2) Компонентные (изменение какого-либо сложного явления полностью определяется изменением компонентов, входящих в это сложное явление как множители). Например:

Стоимость товара = Количество товара х Цена за единицу;

Затраты на производство продукции = Количество продукции х Себестоимость единицы продукции.

3) Факторные (проявляются в согласованной вариации различных признаков у единиц одной и той же совокупности), которые разделяются на:

- Функциональные;

- Стохастические.

Функциональной называют такую связь, при которой определенному значению факторного признака соответствует одно и только одно значение результативного признака, функциональная связь проявляется во всех случаях наблюдения и для каждой конкрет­ной единицы исследуемой совокупности (т.е. это связи полные, жесткие).

Если причинная зависимость проявляется не в каждом отдельном случае, а в общем, среднем при большом числе наблюдений, то такая зависимость называется стохастической (т.е. это связи неполные, соотносительные). Частным случаем стохастической является корреляционная связь, при которой изменение сред­него значения результативного признака обусловлено изменением одного или нескольких факторных признаков.

Формы связей:

1) По направлению выделяют связь прямую и обратную.

При прямой связи с увеличением или уменьшением значений факторного признака происходит увеличение или уменьшение значений результативного. Так, например, рост производительности труда способствует увеличению уровня рентабельности производства.

В случае обратной связи значе­ния результативного признака изменяются под воздействием фактор­ного, но в противоположном направлении по сравнению с изменением факторного признака. Так, с увеличением уровня фондоотдачи снижа­ется себестоимость единицы производимой продукции.

2) По аналитическому выражению выделяют связи прямолинейные (или просто линейные) и нелинейные.

Если статистическая связь меж­ду явлениями может быть приближенно выражена уравнением прямой линии, то ее называют линейной связью, если же она выражается уравнением какой-либо кривой линии (параболы, гиперболы, степен­ной, показательной, экспоненциальной и т. д.), то такую связь назы­вают нелинейной, или криволинейной.

3) По количеству факторных признаков различают связи однофакторные и многофакторные.

Если изучается связь между результативным признаком (у) и одним признаком-фактором (х), то данная связь однофакторная.

Многофакторная связь выражает зависимость результативного признака (у) от нескольких признаков-факторов, действующих одновременно, комплексно.

Методы изучения взаимосвязей

Балансовый метод – изучает балансовые связи и заключается в построении балансовых таблиц (характеризует структуру совокупности, позволяет определить искомые показатели из балансовой зависимости, группировать единицы совокупности по различным признакам и т.д.).

Индексный метод – изучает компонентные связи с помощью построения систем взаимосвязанных индексов.

Метод группировок – изучает факторные связи (заключается в разделении всей совокупности на группы по факторному признаку; позволяет выявить наличие связи и ее направление).

Корреляционно-регрессионный метод – изучает факторные (корреляционные) связи.

Регрессионный анализ заключается в определении аналитического выражения связи, т.е. подборе такой формы функциональной связи, которая в наибольшей степени соответствует сущности обнаруженной корреляционной зависимости.

Корреляционный анализ позволяет определить тесноту связи, т.е. с помощью специальных показателей измерить, в какой мере корреляционная связь приближается по своей силе к связи функциональной.

Корреляция – это статистическая зависимость между случайными величинами, не имеющими строго функционального характера, при которой изменение одной из случайных величин приводит к изменению математического ожидания другой.

Уравнением регрессии называют теоретическую линию связи, а ее построение, анализ и практическое применение – регрессионным анализом. Форму связи определяют прежде всего качественным анализом содержания рассматриваемой зависимости. При построении однофакторной модели известную помощь может оказать рассмотрение графика эмпирической линии регрессии, дающего зрительное представление о направленности и характере связи.

В зависимости от характера изменения результативного признака (у) с изменением факторного признака (х) связи могут быть линейными и нелинейными.

Уравнение линейной связи:

Нелинейные зависимости:

- парабола 2-го порядка

- парабола 3-го порядка

- гипербола

и т. д.

Выбор теоретической формы связи всегда связан с некоторой условностью, вызванной тем, что нужно находить форму функциональной зависимости, в то время как на самом деле зависимость лишь в той или иной степени приближается к функциональной. Но если зависимость довольно высокая (приближена к функциональной), то теоретическая форма связи и ее параметры приобретают большое практическое значение в анализе.

Параметры уравнения регрессии определяют методом наименьших квадратов (МНК), при котором

Методы измерения тесноты связи разделяются на:

- параметрические

- непараметрические.

Параметрические методы используются в тех случаях, когда все изучаемые признаки являются количественными. Использование этих методов основано на расчете основных параметров распределения (средних показателей, дисперсий).

Непараметрические методы используются для измерения связи между качественными признаками, по которым невозможно рассчитать параметры распределения.

К параметрическим методам измерения тесноты связи относят:

1) Методы сравнения параллельных рядов (основаны на расчетах коэффициента Фехнера и коэффициента корреляции рангов Спирмена);

2) Дисперсионный анализ – используется при небольшом числе наблюдений и проводится путем расчета дисперсий: общей (дисперсия комплекса), межгрупповой (факторная дисперсия) и групповой (остаточная дисперсия);

3) Методы однофакторного корреляционного анализа – позволяют с большой точностью определить тесноту связи между факторным признаком (х) и результативным признаком (у) с помощью ряда показателей, расчет которых основан на построении уравнения регрессии или проводится одновременно с регрессионным анализом.

Индекс корреляции (теоретическое корреляционное отношение):

, где ; .

Индекс корреляции изменяется в пределах: 0 £ R £ 1.

Если R = 0, то связь между вариацией признаков у и х отсутствует.

Если R = 1, то связь между признаками у и х полная, функциональная.

Линейный коэффициент корреляции – частный случай общего индекса корреляции, применение которого ограничено только линейной формой связи.

Линейный коэффициент корреляции построен на сопоставлении стандартизованных отклонений варьирующих признаков от их среднего значения.

Исходная формула линейного коэффициента корреляции:

,

где s_x и s_y – средние квадратические отклонения – соответственно х от и у от .

Эмпирическое корреляционное отношение – используется для измерения тесноты связи при разделении совокупности на группы (в основном при нелинейной зависимости):

,

где d² – межгрупповая дисперсия результативного признака;

σ² – общая дисперсия результативного признака.

Эмпирическое корреляционное отношение изменяется в пределах: 0 £ h £ 1.

При h = 0 связь отсутствует, при h = 1 связь функциональная.

4) Методы многофакторного корреляционного анализа – позволяют определить тесноту связи между изучаемым показателем и факторами.

Парные коэффициенты корреляции – применяются для измерения тесноты связи между двумя из рассматриваемых переменных (без учета их взаимодействия с другими переменными).

Методика расчета таких коэффициентов и их интерпретация аналогичны линейному коэффициенту корреляции (r) в случае однофакторной связи.

Частные коэффициенты корреляции – характеризуют степень влияния одного из аргументов на функцию при условии, что остальные независимые переменные зафиксированы на постоянном уровне.

Непараметрические методы измерения тесноты связи основаны на расчете следующих показателей:

Коэффициент взаимной сопряженности А.А. Чупрова – наиболее общий показатель тесноты связи, применяется для измерения связи двух атрибутивных признаков, когда это изменение образует несколько (3 и более) групп:

,

где φ² – показатель взаимной сопряженности;

m – число групп по каждому признаку.

Коэффициент взаимной сопряженности Пирсона – применяется для измерения тесноты связи и его использование возможно, когда каждый из качественных признаков состоит более чем из двух групп:

Коэффициенты ассоциации и контингенции – применяются для измерения тесноты связи двух качественных признаков, каждый из которых состоит только из двух групп.

Коэффициент ассоциации:

Коэффициент контингенции:

Коэффициент контингенции всегда меньше коэффициента ассоциации. Связь считается подтвержденной, если А ³ 0,5 или К ³ 0,3.

Тема 1.10. Ряды динамики и их применение в анализе

социально-экономических явлений

Рядами динамики называют ряды последовательно расположенных в хронологическом порядке показателей, которые характеризуют развитие явления во времени.

Данный статистический способ представления данных позволяет изучить явление с точки зрения его непрерывного развития (динамики). Исследование рядов динамики дает возможность охарактеризовать процесс развития явлений, показать основные пути, тенденции и темпы этого развития.

В каждом ряду динамики имеются два основных элемента:

1) показатель времени – t;

2) соответствующие им уровни развития изучаемого явления – у.

С помощью рядов динамики изучение закономерностей развития социально-экономических явлений осуществляется в следующих основных направлениях:

1. характеристика уровней развития изучаемых явлений во времени;

2. измерение динамики изучаемых явлений посредством системы статистических показателей;

3. выявление и количественная оценка основной тенденции развития (тренда);

4. изучение периодических колебаний;

5. экстраполяция и прогнозирование.

Основным условием для получения правильных выводов при анализе рядов динамики является сопоставимость его элементов.

Для количественной оценки динамики социально-экономических явлений применяются статистические показатели, в основе расчета которых лежит сравнение его уровней:

1) Абсолютный прирост – определяется как разность двух уровней ряда динамики в единицах измерения исходной информации.

Базисный абсолютный прирост исчисляется как разность между сравниваемым уровнем (y_i) и уровнем, принятым за постоянную базу сравнения (y₀): .

Цепной абсолютный прирост – разность между сравниваемым уровнем (y_i), и уровнем, который ему предшествует (y_i-1): .

2) Темп роста – характеризует отношение двух уровней ряда и может выражаться в виде коэффициента или в процентах.

Базисные темпы роста исчисляются делением сравниваемого уровня на уровень, принятый за постоянную базу сравнения:

.

Цепные темпы роста исчисляются делением сравниваемого уровня на предыдущий уровень:

.

3) Темпы прироста – характеризуют абсолютный прирост в относительных величинах. Исчисленный в процентах темп прироста показывает, на сколько процентов изменился сравниваемый уровень с уровнем, принятым за базу сравнения.

Базисный темп прироста вычисляется делением сравниваемого базисного абсолютного прироста на уровень, принятый за постоянную базу сравнения:

.

Цепной темп прироста – это отношение сравниваемого цепного абсолютного прироста к предыдущему уровню:

.

4) Абсолютное значение одного процента прироста равно отношению абсолютного прироста (цепного) к темпу прироста (цепному), выраженному в процентах:

.

Для получения обобщающих показателей динамики социально-экономических явлений определяются средние величины: средний уровень, средний абсолютный прирост, средний темп роста и прироста и др.

Важным направлением в исследовании закономерностей динамики социально-экономических процессов является изучение общей тенденции развития, для чего применяются специальные методы анализа рядов динамики. Конкретное их использование зависит от характера исходной информации и предопределяется задачами анализа.

На практике наиболее распространенными методами выявления основной тенденции динамики являются:

- метод укрупнения интервалов;

- метод скользящей средней;

- метод аналитического выравнивания.

Метод укрупнения интервалов применяется для выявления основной тенденции развития в рядах динамики колеблющихся уровней, скрывающих основное направление развития.

Метод скользящей средней применяется для сглаживания рядов динамики и заключается в определении по исходным данным теоретических средних уровней, в которых случайные колебания погашаются, а основная тенденция развития выражается в виде некоторой плавной линии.

Метод аналитического выравниваниязаключается в нахождении плавной линии развития явления (тренда), характеризующей основную тенденцию его динамики.

Таким образом, основная тенденция развития у_t рассчитывается как функция времени: .

Определение теоретических (расчетных) уровней у_t производится на основе адекватной математической функции, которая наилучшим образом отображает тенденцию ряда динамики.

Для отображения основной тенденции развития явлений во времени применяются полиномы разной степени, экспоненты, логистические кривые и другие функции.

Полиномы имеют следующий вид:

1-й степени – ;

2-й степени – ;

3-й степени – ;

n-й степени – ,

где a₀, a₁, a₂, …, a_n – параметры полиномов;

t – условное обозначение времени.

Подбор адекватной математической функции, отражающей развитие явления, проводится на основе качественного анализа данного явления и может быть осуществлен с помощью графического метода (типовые графики функций) или аналитического метода (по эталонным типам развития явления).

После установления типа тренда необходимо вычислить оптимальные значения параметров тренда исходя из фактических уровней. Для этого используют метод наименьших квадратов (МНК), суть которого состоит в минимизации суммы квадратов отклонений фактических уровней ряда от выровненных уровней (от тренда):

.

Для каждого типа тренда МНК дает систему нормальных уравнений, решив которую вычисляют параметры тренда.

Исследование динамики социально-экономических явлений, выявление и характеристика основной тенденции развития дают основание для прогнозирования – определения будущих размеров уровня экономического явления. Важное место в системе методов прогнозирования занимают статистические методы. Применение прогнозирования предполагает, что закономерность развития, действующая в прошлом (внутри ряда динамики), сохранится в прогнозируемом будущем, т.е. прогноз основан на экстраполяции. Экстраполяция, проводимая в будущее, называется перспективной, а в прошлое – ретроспективной (или интерполяция: определение недостающих уровней ряда).

Сезонными колебаниями называются более или менее устойчивые внутригодовые колебания в рядах динамики, обусловленные специфическими условиями производства или потребления данного товара.

Сезонные колебания характеризуются индексами сезонности (I_s), совокупность которых образует сезонную волну (рис. 4.3). Индексами сезонности являются процентные отношения фактических внутригодовых уровней к постоянной средней.

для одного года ;

для нескольких лет ,

где – отдельные уровни ряда по месяцам;

– постоянная средняя (за год или за несколько лет);

– средний уровень для каждого месяца.

Тема 1.11. Индексный метод анализа

К числу обобщающих показателей, используемых в статистике, кроме средних, относительных величин и коэффициентов относятся и индексы.

Статистический индекс–это относительная величина сравнения сложных совокупностей и отдельных их единиц. При этом под сложной понимается такая статистическая совокупность, отдельные элементы которой непосредственно не подлежат суммированию.

Сфера применения (значение) индексов:

1. Сравнительная характеристика совокупностей, состоящих из несуммируемых элементов. Свойство несуммируемости натуральных единиц преодолевается переводом в стоимостные единицы при расчете индексов.

2. Анализ измерений явления в динамике (во времени), в пространстве (территориальные индексы), сравнение с планом.

3. Анализ влияния отдельных факторов на динамику сложного показателя (факторный анализ).

4. Факторный анализ динамики средних показателей (влияние структурных сдвигов).

Основным элементом индексного отношения является индексируемая величина. Под индексируемой величиной понимается значение признака статистической совокупности, изменение которой является объектом изучения. Сопоставление индексируемых величин при расчете индексов осуществляется с помощью соизмерителей (весов).

Классификация индексов по различным признакам приведена в таблице 6.

Таблица 6

Классификация индексов

Индивидуальные индексы дают сравнительную характеристику отдельных элементов совокупности, например:

(индекс цен),

(индекс себестоимости),

(индекс количества продукции),

где р₀ и р₁ – цена за единицу продукции (товара) в базисном и в отчетном периоде;

z₀ и z₁ – себестоимость единицы продукции в базисном и в отчетном периоде;

q₀ и q₁ – количество продукции (товара) в базисном и в отчетном периоде.

Групповые индексы (субиндексы) охватывают часть, группу элементов совокупности.

Общие индексы характеризуют изменение совокупности в целом, охватывают все ее элементы.

(общий индекс цен)

(общий индекс себестоимости)

или (общий индекс количества продукции).

В зависимости от методологии расчета групповые и общие индексы могут быть:

- агрегатные (суммарные) – основная форма индекса;

- средние из индивидуальных – производная форма индекса, которую получают в результате преобразования агрегатных индексов.

(средний гармонический индекс цен)

(средний гармонический индекс себестоимости)

или (средний арифметический индекс количества продукции)

Если рассматривать не отдельный индекс, а ряд индексов, которые последовательно исчисляются от одного периода к другому, то различают цепную и базисную системы расчета индексов, с постоянными и переменными весами. В практике применяются все способы расчета систем индексов в зависимости от поставленной задачи.